Теорема об огибающей

Теорема об огибающей (англ. envelope theorem) — результат о дифференцируемости целевой функции в оптимизационных задачах с параметром. Теорема гласит, что при варьировании значения параметра, изменение целевой функции (в определённом смысле) не обусловлено изменением оптимума. Теорема важна для сравнительной статики в оптимизационных моделях.

Теорема

Пусть $f(x,\alpha )$ и $g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m$ — вещественнозначные непрерывные дифференцируемые функции, определённые на $\mathbb {R} ^{n+l}$, где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ есть переменные, а $\alpha \in \mathbb {R} ^{l}$ — параметры. Рассмотрим задачу выбора $x$ при заданных $\alpha$ с тем, чтобы найти:

$\max _{x}f(x,\alpha )$ при $g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m$ и $x\geq 0$.

Лагранжиан:

${\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )$

где $\lambda \in \mathbb {R} ^{m}$ — множители Лагранжа. Пусть $x^{\ast }(\alpha )$ и $\lambda ^{\ast }(\alpha )$ есть решение, то есть точка, максимизирующая f при заданных ограничениях (и, следовательно, седловые точки лагранжиана),

${\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),$

Определим функцию значения

$V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).$

Тогда верна следующая теорема.

Теорема: Положим, что $V$ и ${\mathcal {L}}$ непрерывны и дифференцируемы. Тогда

${\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l$

где $\partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}$.