Теорема Эрдёша — Радо

Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на несчётные множества. Названа в честь Пала Эрдёша и Ричарда Радо. Ранее Джюро Курепа доказал эту теорему в предположении обобщённой Континуум-гипотезы.

Формулировка

Пусть $r$ — конечно и $\kappa$ — бесконечный кардинал. Тогда для любой раскраски $(r+1)$-точечных подмножеств множества мощности $\exp _{r}(\kappa )^{+}$, в $\kappa$ цветов существует монохроматическое подмножество мощности $\kappa ^{+}$.

Замечания

• $\kappa ^{+}$ обозначает следующее за $\kappa$ кардинальное число.
• $\exp _{r}(\kappa )$ определяется индуктивно $\exp _{0}(\kappa )=\kappa$ и $\exp _{r+1}(\kappa )=2^{\exp _{r}(\kappa )}$.

Литература

• Erdős, P.; Hajnal, A.; Máté, A.; Rado, R. (1984), Combinatorial set theory: partition relations for cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592
• Erdős, P.; Rado, R. (1956), "A partition calculus in set theory.", Bull. Amer. Math. Soc., 62 (5): 427—489, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0, MR 0081864