Теорема Энгеля

Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли. Названа в честь Фридриха Энгеля.

Формулировка

Конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентной тогда и только тогда, когда для любого $X\in {\mathfrak {g}}$ оператор $\operatorname {ad} _{X}$ нильпотентен.

Необходимые определения

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k. Если ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ — подмножества ${\mathfrak {g}}$, то $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]$ обозначает множество всех конечных сумм элементов вида $[X,Y],$ где $X\in {\mathfrak {a}},\;Y\in {\mathfrak {b}}.$

Нижний центральный ряд алгебры Ли определёется рекурсивно:

${\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{i}]$ .

Алгебра Ли называется нильпотентной, если ${\mathfrak {g}}^{n}=0$ для некоторого числа. Эквивалентно, если ввести обозначения $\operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\$ то алгебра Ли будет нильпотентных если для некоторого натурального числа n выполняется

ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0

для произвольных $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},$.