Теорема Хелли

На плоскости, непустое пересечения всех троек выпуклых фигур влечёт, что пересечение всех непусто

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

Формулировки

Конечные семейства

Предположим, что

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$

есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства $\mathbb {R} ^{d}$, такое что $n>d$ и пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть

$\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset$.

Бесконечные семейства

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть $\{X_{\alpha }\}$ есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств $\mathbb {R} ^{d}$, такое что пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

Следствия

• Теорема Юнга: Пусть $S$ есть конечное множество точек в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$ такое, что любые $d+1$ точек из $S$ можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество $S$ можно накрыть единичным шаром.
• Радиус Юнга: Пусть $X$ — множество точек в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$, с диаметром $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$. Тогда существует $d$-мерный замкнутый шар $B^{d}(r)$ радиуса $r={\sqrt {2d/(d+1)}}$, такой что $X\subset B^{d}(r)$. Если множество $X$ не принадлежит никакому меньшему шару, то $X$ содержит вершины $d$-симплекса с длиной каждого ребра $2$.
• Теорема Киршбрауна

Вариации и обобщения

• Пусть $H$ — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и $X_{\alpha }$ — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств $H$. Если пересечение произвольного конечного подсемейства $X_{\alpha }$ не пусто то $\cap _{\alpha }X_{\alpha }$ также непусто.

История

Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923, уже после публикаций Радона и Кёнига.

См. также

• Нерв покрытия
• Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Литература

• Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. — М.: Мир, 1968. — 159 с.