Теорема Помпею

Теоре́ма Помпею́ — теорема планиметрии, открытая румынским математиком Димитрие Помпею и опубликованная им в 1936 году. Теорема известна в двух формулировках: частной и более общей.

Формулировки

Теорема Помпею — частный случай

Частная формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Тогда для любой точки этой окружности расстояние от неё до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух остальных вершин. В частности, для рис. справа имеем: $AM+CM=BM$. В симметричном виде эта формулировка может быть записана в виде: $MA+MB+MC=2\max(MA,MB,MC)$ или $x+y+z=2\max(x,y,z)$.

Примеры аналогичных соотношений

Аналогичные соотношения встречаются в следующих разделах:

• Теорема Мавло
• Точки Фейербаха

Общая формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Тогда для любой точки $M$ справедливы неравенства:

$MA\leqslant MB+MC,$

$MB\leqslant MA+MC,$

$MC\leqslant MA+MB.$

При этом указанные неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на дугах $BC$, $AC$ и $AB$ описанной окружности соответственно.

Другими словами, из отрезков $MA$, $MB$, $MC$ можно составить треугольник, но если точка $M$ на описанной окружности, он будет вырожденным.

Доказательства

Рассмотрим поворот вокруг точки $A$ на $60^{\circ }$. При этом повороте точка $B$ перейдёт в $C$, а $M$ — в $M'$.

Заметим, что треугольник $AMM'$ равносторонний, поэтому $AM=MM'$. Так как поворот является изометрией, то $MB=M'C$.

Таким образом, длины отрезков $MA$, $MB$, $MC$ равны попарным расстояниям между точками $M$, $M'$, $C$, то есть все три неравенства будут следовать из обобщённого неравенства треугольника. Одно из неравенств станет равенством в том и только том случае, если точки $M$, $M'$ и $C$ будут лежать на одной прямой.

Заметим, что в силу свойств поворота $\angle AM'C=\angle AMB$. Теперь в случае, когда $C$ лежит между $M$ и $M'$ имеем $\angle AM'C=\angle AMB=60^{\circ }$ и $\angle AMC=60^{\circ }$, то есть $M$ лежит на дуге $BC$. Аналогично, в двух других случаях один из указанных углов будет $60^{\circ }$, а другой $120^{\circ }$, и мы получим две другие дуги.

Другие доказательства

• Также теорема Помпею напрямую следует из неравенства Птолемея, применённого к $A$, $B$, $C$ и $M$, то есть для вписанного в окружность четырехугольника $ABCM$.
• Теорема может быть доказана с помощью инверсии или комплексных чисел — доказательство самого Помпею также использовало комплексные числа.

Вариации и обобщения

Площадь треугольника Помпею

Как гласит теорема, для всякой точки $M$ из отрезков $MA$, $MB$, $MC$ можно построить треугольник (треугольник Помпею, соответствующий точке $M$). Если $M$ лежит внутри треугольника $ABC$ площади $S_{0}$, а площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, то площадь треугольника Помпею равна ${\frac {S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1}}{S_{0}}}$.

Обобщённая теорема Помпею

Теорема Помпею — обобщение

Пусть окружность касается описанной окружности равностороннего треугольника $ABC$ в произвольной точке $M$. Проведём касательные $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ к этой окружности из вершин треугольника. Тогда $AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}$.

Доказательство основано на применении теоремы Помпею и теоремы о касательной и секущей. Ясно, что если сделать радиус окружности нулевым, мы получим классическую теорему Помпею. Данное обобщение теоремы Помпею есть простое следствие теоремы Кейси (обобщённой теоремы Птолемея), когда радиусы трех из четырех касающихся окружностей вписанного четырехугольника вырождаются в точки, а четвертая окружность фигурирует в данном обобщении теоремы Помпею. При этом вписанный четырехугольник вырождается в равносторонний треугольник с одной лишней вершиной. Можно взять и другой случай вписанного четырехугольника, когда у него равны две стороны и диагональ, образующие равносторонний треугольник ABC и три его вершины, четвертая вершина M лежит на окружности (см. последний рис.).

Источники

• В. Ю. Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО, 2005.
• Я. П. Понарин. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2004.