Теорема Левинсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Формулировка теоремы

[править | править код]

Пусть решения системы

где  — постоянная -матрица, ограничены на . Тогда система

где и

асимптотически эквивалентна системе .

Доказательство

[править | править код]

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру [1])

Поскольку решения системы ограничены, то характеристические корни матрицы   удовлетворяют равенству

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица   имеет квазидиагональный вид

где   и  -- соответственно, - и -матрицы такие, что

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований и  где  — постоянная -матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми  индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми .

Кроме того, из предельного отношения при  очевидно, следует предельное отношение

 при .

  Пусть   -- фундаментальная матрица системы  нормированная в нуле:  а  и  где  и  -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, 

Положим где и .

Отсюда матрицу Коши  можно представить в виде:

причем при условии имеем

при     и

 при  где  - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

где   произвольное.

Поскольку матрица  абсолютно интегрирована на то все решения  системы ограничены на

и поэтому несобственный интеграл  является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что наше интегральное уравнение можно представить в виде

Решению системы с начальным условием сопоставим решение системы с начальным условием

Поскольку решения  и полностью определяются своими начальными условиями, то формула устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений системы и множеством решений (или ее частью) системы . Заметим, что отношение непрерывное относительно начального значения

  Покажем, что соответствие между решениями  и что определяется формулой является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений .

Пусть -- фундаментальная матрица системы такая, что . Имеем

Но из неравенств следует   при ; поэтому

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

при

причем константа по оценке не зависит от выбора начального момента

Очевидно, имеем

Поэтому из формулы получаем где причем на основе выводим

Поскольку матрица абсолютно интегрирована на , то при , следовательно, в силу начальный момент можно выбрать настолько большим, чтобы имело место В дальнейшем будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства . Отсюда и из формулы выводим

Поскольку формулы и равносильны, то для каждого решения системы с начальным условием найдется только одно решение системы  которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие которого определяется формулой

Соответствие между решениями  и , которое устанавливается формулами и -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению  соответствует одно и только одно решение , и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению  соответствует тривиальное решение и в силу линейности соотношений и различными решениям  и системы отвечают разные решения  и системы и наоборот.

Для соответствующих решений и оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

где определяется формулой , то из формулы имеем

Отсюда, учитывая, что

при

на основе оценок  и получаем

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы  при имеем

если

Итак,

Таким образом, из неравенства выводим то есть системы и асимптотически эквивалентны. Доказано.

Примечания

[править | править код]
  1. Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758-765
  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.  (рус.)(рус.)