Теорема Коши о многогранниках

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Формулировка[править | править код]

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверностями перводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.

История[править | править код]

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.[1] Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934 году[3].

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
  • Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
    • Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
  • Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
    • Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема Погорелова).

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Legendre, A. M. "Éléments de géométrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.
  2. ↑ Cauchy A. L. Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l’École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.
  3. ↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.

Литература[править | править код]

  • Н. П. Долбилин, Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000. 40 с. ISBN 5-900916-48-0; Тираж 2000 экз. Серия Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 5.
  • Лекция 24 в Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Коши_о_многогранниках&oldid=135376517