Теорема Зеелигера

Теорема Зеелигера (Зелигера) в астрономии — утверждение, что для любого $m$ число звёзд с видимой звёздной величиной ярче $m+1$ в 3,98 раз больше, чем звёзд ярче величины $m$. Теорема выполняется при отсутствии межзвёздного поглощения и равномерном распределении звёзд в пространстве. Теорема сформулирована Хуго Зелигером и носит его имя. Отклонения результатов наблюдения от вывода теоремы вызваны главным образом наличием межзвёздного поглощения и позволяют измерить его величину.

Формулировка

Теорема Зеелигера формулируется в двух предположениях: звёзды всех абсолютных звёздных величин распространены в пространстве равномерно, а межзвёздное поглощение отсутствует.

Можно рассмотреть звезду произвольной светимости, которая находится на расстоянии $r$ от наблюдателя и имеет видимую звёздную величину $m$. Из предположения об отсутствии поглощения следует, что освещённость от звезды обратно пропорциональна квадрату расстояния до неё, а так как звезда такой же светимости величины $m+1$ приблизительно в 2,512 раз тусклее звезды с величиной $m$, она должна находиться на расстоянии ${\sqrt {2{,}512}}\cdot r\approx 1{,}58~r$.

Таким образом, при одинаковой светимости звёзды величины ярче $m$ должны находиться внутри сферы с радиусом $r$, а ярче $m+1$ — в сфере радиуса ${\sqrt {2{,}512}}\cdot r$. Из предположения о равномерности распределения звёзд в пространстве следует, что число $N$ звёзд пропорционально объёму, который они занимают:

${\frac {N(m+1)}{N(m)}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi ({\sqrt {2{,}512}}\cdot r)^{3}}{{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}}={\sqrt {2{,}512}}^{3}\approx 3{,}98$

Таким образом, для звёзд любой светимости, а значит, и для всей совокупности звёзд оказывается верно, что количество звёзд ярче величины $m+1$ примерно в 3,98 раз больше количества звёзд ярче величины $m$.

Сравнение с наблюдениями

Реальное распределение звёзд по звёздным величинам отличается от выводимого из теоремы — функция $N(m)$ при увеличении $m$ растёт медленнее, чем предполагается. Это отклонение вызвано в первую очередь существованием межзвёздного поглощения: чем оно больше, тем сильнее должно быть отклонение наблюдательных данных от выводимого в теореме. Кроме того, для областей вблизи полюсов галактики $N(m)$ возрастает медленнее, чем вблизи галактического экватора, иными словами, тусклые звёзды больше сконцентрированы в плоскости диска Галактики.

Распределение звёзд по звёздным величинам

$m$	$N(m)$ для определённой части неба	${\frac {N(m+1)}{N(m)}}$
		Всё небо	Вблизи галактического экватора	Вблизи полюсов Галактики
4	3,57⋅102	2,88	2,88	2,88
5	1,32⋅103	2,85	2,85	2,85
6	2,94⋅103	2,80	2,82	2,77
7	8,24⋅103	2,77	2,80	2,70
8	2,28⋅104	2,72	2,77	2,60
9	6,21⋅104	2,67	2,75	2,50
10	1,66⋅105	2,61	2,70	2,39
11	4,32⋅105	2,54	2,67	2,29
12	1,10⋅106	2,47	2,62	2,17
13	2,71⋅106	2,39	2,55	2,06
14	6,47⋅106	2,31	2,46	1,97
15	1,49⋅107	2,22	2,35	1,87
16	3,31⋅107	2,12	2,23	1,77
17	7,03⋅107	2,03	2,13	1,68
18	1,43⋅108	1,93	2,04	1,60
19	2,75⋅108	1,84	1,93	1,51
20	5,06⋅108	1,76	1,84	1,43
21	8,89⋅108

История изучения

Теорему впервые сформулировал Хуго Зелигер в 1889 году. Он же, проведя звёздные подсчёты до величины 13,5^m, оценил величину межзвёздного поглощения в диске Галактики, но его оценка оказалась сильно заниженной: она составила 0,3^m на 4 килопарсека, в то время как сейчас эта величина оценивается как 2^m на килопарсек. По этим же данным он построил модель Млечного Пути, которая имела форму эллипсоида вращения размером 14,4×3,3 килопарсека, с Солнцем в центре.

Литература

• Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy (англ.). — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0.