Теорема Бёрча

Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы Бёрча

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, $r_{1},\dots ,r_{k}$ нечётные натуральные числа, а $f_{1},\dots ,f_{k}$ однородные многочлены с коэффициентами из K степени $r_{1},\dots ,r_{k}$ соответственно от n переменных. Тогда существует число $\psi (r_{1},\dots ,r_{k},l,K)$, такое что при

$n\geqslant \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)$

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

$f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ для всех }}x\in V.$

Примечания

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм $f_{1},\dots ,f_{k}$. Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения кругового метода Харди – Литлвуда, теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

$c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\ldots ,n$

имеет решение в целых числах $x_{1},\dots ,x_{n}$, в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.