Теорема Бёрнсайда

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.

Формулировка

Пусть группа $G$ имеет порядок $p^{a}\cdot q^{b}$, где $p$ и $q$ — простые числа. Тогда $G$ — разрешима.

Замечания

• Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.
  • В частности наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа $A_{5}$ имеет порядок $60=5\cdot 3\cdot 2^{2}$.

Схема доказательства Бёрнсайда

1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа $G$ данного порядка — абелева.
2. По теореме Силова, группа $G$ имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера $p^{r}$ для некоторого $r\geqslant 1$. В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы $G$, она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент $x$ группы $G$, такой что класс сопряжённости элемента $x$ имеет размер $p^{r}>1$.
3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера $\chi$ группы $G$ такого, что $|\chi (x)|=\chi (1)$.
4. Из простоты группы $G$ следует, что любое комплексное неприводимое представление характера $\chi$ верно (или точно), и отсюда следует, что $x$ принадлежит центру группы $G$, что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Вариации и обобщения

• Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.

Литература

• James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
• Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.

Ссылки

• Р. Борчердс  (англ.), Representation theory: Burnside's theorem на YouTube