Теорема Брука — Райзера — Човла

Теорема Брука —Райзера —Човла — это результат в комбинаторике блок-схем. Теорема утверждает, что если (v, b, r, k, λ)-схема существует с v = b (симметичная блок-схема), то:

• если v чётно, то k − λ является квадратом;
• если v нечётно,то следующее диофантово уравнение имеет нетривиальное решение:

  $x^{2}-(k-\lambda )y^{2}-(-1)^{(v-1)/2}\lambda z^{2}=0$.

Теорему доказали для случая проективных плоскостей Брук и Райзер. Теорему расширили на симметричные схемы Райзер и Човла.

Проективные плоскости

В специальном случае симметричных схем с $\lambda =1$, то есть проективных плоскостей, теорему (которая в этом случае известна как теорема Брука —Райзера) можно сформулировать следующим образом: Если конечная проективная плоскость порядка q существует и q сравнимо с 1 или 2 (mod 4), то q должно быть суммой двух квадратов. Заметим, что для проективной плоскости для параметров схемы выполняется $v=b=q^{2}+q+1,r=k=q+1,\lambda =1$. Таким образом, в этом случае v всегда нечётно.

Теорема, например, исключает существование проективных плоскостей порядков 6 и 14, но позволяет существование плоскостей порядков 10 и 12. Поскольку было показано с помощью комбинации теории кодирования с крупномасштабным компьютерным поиском, что проективная плоскость порядка 10 не существует, условие теоремы очевидно не достаточно для существования схемы. Однако не известно критерия несуществования.

Связь с матрицами инцидентности

Существование симметрической (v, b, r, k, λ)-схемы эквивалентно существованию v × v матрицы инцидентности R с элементами 0 и 1, удовлетворяющей условию

$RR^{T}=(k-\lambda )E+\lambda J$,

где E является v × v единичной матицей, а J — v × v матрицей, в которой все элементы равны 1. По существу, теорема Брука — Райзера — Човла является утверждением о необходимых условиях существования рациональной v × v матрицы R, удовлетворяющей этому уравнению. Фактически, условия, заключённые в теореме Брука — Райзера — Човла, являются не просто необходимыми, но также и достаточны для существования таких рациональных матриц R. Они могут быть выведены из теоремы Минковского — Хассе о рациональной эквивалентности квадратичных форм.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bruck–Ryser–Chowla Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.