Суммирующая функция ряда

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду $U$ ставит в соответствие некоторое число $s(U)$. Примером суммирующей функции может служить $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}$. Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют $s_{0}$. Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности (если $U$ - сходящийся ряд, то суммирующая функция $s(U)$ должна существовать и быть равной $s_{0}(U)$), и линейности (для любых двух рядов $U$ и $V$ и чисел $a$ и $b$ из существования значений $s(U)$ и $s(V)$ следует существование значения $s(aU+bV)$ и равенство $s(aU+bV)=as(U)+bs(V)$).

Примеры

Суммирующей функцией Пуассона-Абеля называется функция, определённая равенством $s_{p}=\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}x^{k}$. Суммирующая функция Пуассона-Абеля является регулярной и линейной.

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.