Субфакториал
(перенаправлено с «Субфакторион»)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 июня 2016 года; проверки требуют 25 правок.
Эта страница требует существенной переработки. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.
В частности, !n есть число способов положить n пронумерованных писем в n пронумерованных конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно из писем не попало в конверт с соответствующим ему номером (так называемая «Задача о письмах»).
Явная формула[править | править код]
Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:
Другие формулы[править | править код]
- , где обозначает неполную гамма-функцию[англ.], а e — математическая константа;
- , где обозначает ближайшее к x целое число (округление).
- (согласно Mehdi Hassani), где обозначает целую часть числа.
- Справедливы формальные тождества: и , где нужно понимать как , а — как .
Таблица значений[править | править код]
n | !n[1] |
---|---|
1 | 0 |
2 | 1 |
3 | 2 |
4 | 9 |
5 | 44 |
6 | 265 |
7 | 1854 |
8 | 14 833 |
9 | 133 496 |
10 | 1 334 961 |
11 | 14 684 570 |
12 | 176 214 841 |
13 | 2 290 792 932 |
14 | 32 071 101 049 |
15 | 481 066 515 734 |
16 | 7 697 064 251 745 |
17 | 130 850 092 279 664 |
18 | 2 355 301 661 033 953 |
19 | 44 750 731 559 645 104 |
20 | 895 014 631 192 902 121 |
Свойства[править | править код]
- (таким же свойством обладает сам факториал)
- Число 148 349 является субфакторионом, т.е. равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона):
- (найдено J. S. Madachy, 1979)
- Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определённых цифр (например, известна игра Четыре четвёрки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).