Это список пределов и правил их вычисления для основных функций . В перечисленных ниже примерах a и b являются константами относительно x .
Пусть
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}
и
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
. Тогда:
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
×
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}
, если
L
2
≠
0
{\displaystyle L_{2}\neq 0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
a
=
L
1
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}}
, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
, если
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
, или
lim
x
→
c
|
g
(
x
)
|
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }
(Правило Лопиталя )
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
(определение производной )
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
e
h
x
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
Пределы, связанные с известными константами [ править | править код ]
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
(константа Непера ) — Второй замечательный предел
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
...
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
(пи ), а если заменить самый внутренний радикал
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
на
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
, то предел получится равным
2
π
3
{\displaystyle {2\pi \over 3}}
lim
x
→
c
P
(
x
)
=
P
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}P(x)=P(c)}
, где
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
— многочлен .
lim
x
→
0
+
1
x
r
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
1
x
r
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty }
, если r нечётно , и
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, если r чётно.
При
a
>
1
:
{\displaystyle a>1:}
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }
lim
x
→
−
∞
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}
lim
x
→
∞
a
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
— Первый замечательный предел
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
0
tg
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
{\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }
, если n — целое число .
lim
x
→
∞
a
/
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a/x=0}
, при любом вещественном a.
lim
x
→
∞
x
/
a
=
{
∞
,
a
>
0
−
∞
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}
и не существует при
a
=
0
{\displaystyle a=0}
.
lim
x
→
∞
x
a
=
{
∞
,
a
>
0
1
,
a
=
0
0
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
x
=
{
∞
,
a
>
1
1
,
a
=
1
0
,
−
1
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
−
x
=
lim
x
→
∞
1
/
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0}
при любом
a
>
1
{\displaystyle a>1}
lim
x
→
∞
a
x
=
{
1
,
a
>
0
0
,
a
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}}
и не существует, если
a
<
0
{\displaystyle a<0}
.
lim
x
→
∞
x
a
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }
при любом
a
>
0
{\displaystyle a>0}
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }