Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

Определение

Пусть $A$ и $B$ линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из $A$ в $B$ есть непрерывное отображение $f:A\to B$ такое, что индуцированные отображения $f_{n}:\pi _{n}(A,a_{0})\to \pi _{n}(B,b_{0})$ биективны при всех $n\geq 1$ для некоторой (а значит для любой) пары точек $b_{0}=f(a_{0})$.

Свойства

• Существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$, вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $B\to A$.

• Изоморфность групп $\pi _{n}A$ и $\pi _{n}B$ вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$.

• Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.