Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является линейной относительно всех искомых функций $y_{i}(x)$ и их производных всех порядков. Такую систему можно преобразовать к линейной системе первого порядка канонического вида, которую обычно и определяют, как СЛДУ.

Определение

Если в системе $n$ дифференциальных уравнений имеется производная $y_{i}^{(k+1)},k>0$, то можно добавить новую искомую функцию $y_{n+1}$, определяемую новым линейным уравнением $y_{i}^{(k)}=y_{n+1}$. Заменой $y_{i}^{(k+1)}=y_{n+1}'$ в остальных уравнениях производная$y_{i}^{(k+1)}$ исключается из системы. Последовательное выполнение этих операций для линейной системы приводит к линейной системе первого порядка. В линейной системе каждую производную можно подстановкой исключить из всех уравнений кроме одного. Поэтому систему линейных дифференциальных уравнений обычно определяют, как систему вида

$y'_{j}=\sum _{k=1}^{n}{p_{jk}(x)y_{k}}+f_{j}(x),j=1,2,\dots ,n$

Линейное дифференциальное уравнение

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка $n$

$y_{0}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{0}^{(k)}}+f_{j}(x)$,

то описанным выше способом его можно преобразовать в систему $n$ уравнений следующего вида

${\begin{cases}y'_{0}=y_{1}\\y'_{1}=y_{2}\\\cdots \\y'_{n-2}=y_{n-1}\\y'_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{k}}+f_{j}(x)\end{cases}}$

Решение СЛДУ

Общее решение однородной СЛДУ, получаемой приравниванием всех $f_{j}(x)$ к нулю даётся формулами

$y_{j}=\sum _{k=1}^{n}{C_{k}y_{jk}(x)}$

где $y_{j1},y_{j2},\dots ,y_{jn}$ — линейно независимые частные решения однородной системы, то есть такие, что определитель $||y(x)_{ij}||\neq 0$ хотя бы в одной точке. В случае постоянных коэффициентов $p(x)_{jk}=a_{jk}$ частные решения однородной системы следует искать в виде

$y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\dots +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}x}$

где $A_{js}$ — неопределённые коэффициенты, $\lambda _{j}$ — корни характеристического уравнения

${\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0$

и $n_{k}$ — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных случаев производится методами линейной алгебры. Для решения СЛДУ с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Литература

• Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М.,1966
• Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.