Синтетический контроль

Сравнение реального благосостояния жителей ФРГ после объединения с ГДР в 1990 и гипотетического, если бы объединения не состоялось, с опорой на данные других стран ОЭСР.

Синтетический контроль (англ. Synthetic control method, SCM) — эконометрический метод анализа данных в рамках причинно-следственной модели Рубина, позволяющий проводить каузальную инференцию в сравнительных кейс-стади. Метод направлен на оценку эффектов исследуемого воздействия (например, экономической реформы) на примере небольшого числа кейсов с помощью моделирования их количественных показателей в гипотетической ситуации, где воздействие не было оказано, на основе ограниченного круга похожих контрольных наблюдений посредством присвоения этим переменным определённых весов.

Формальный вывод

Рассмотрим $i$-й регион, или какой-то другой объект наблюдения, причём $i=1,\dots ,J+1$, где $J+1$ — число регионов, среди которых 1 испытал на себе исследуемое воздействие, а остальные $J$ — нет, являясь контрольной группой (их совокупность называется «пулом доноров», англ. donor pool), в период времени $t$, где $t=1,\dots ,T$.

Пусть исследуемое воздействие будет оказано в период $T_{0}+1$, где $1\leq T_{0}<T$, и тогда $T_{0}$ — число периодов до воздействия. Обозначим отклик показателя в регионе $i$ в период времени $t$ в отсутствие исследуемого воздействия через $Y_{it}^{N}$, а в его присутствие — $Y_{it}^{I}$. Сделаем допущение о том, что при $t=1\dots T_{0}$, $Y_{it}^{N}=Y_{it}^{I}$: до наступления исследуемого воздействия, оно не оказывает эффекта на отклик в выбранном регионе. Также допустим, что воздействие, имевшее место в рассматриваемом регионе, не оказывает влияния на регионы из контрольной группы. Эффект исследуемого воздействия обозначим как $a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}$. Поскольку воздействие имеет место только в $i=1$ и $t>T_{0}$, целью SCM является определение $a_{1t}=Y_{1t}^{I}-Y_{1t}^{N}$, где $Y_{1t}^{I}=Y_{1t}$ — собственно, наблюдаемый в рассматриваемом регионе показатель, а $Y_{1t}^{N}$ — ненаблюдаемый отклик, который можно представить в качестве следующей факторной модели:

$Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\epsilon _{it},$

где $\delta _{t}$ — общий для всех регионов фактор, $\mathbf {Z} _{i}$ — вектор наблюдаемых, независимых от воздействия ковариат, ${\boldsymbol {\theta }}_{t}$ — вектор их оценённых для данной выборки регионов коэффициентов, ${\boldsymbol {\lambda }}_{t}$ — вектор ненаблюдаемых латентных факторов, ${\boldsymbol {\mu }}_{i}$ — вектор соответствующих им факторных нагрузок и $\epsilon _{it}$ — специфичности, или шум. Эту модель можно переписать в виде:

$\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\sum \limits _{j}w_{j}\epsilon _{it},$

где $w_{j}$ — это $j$-тое значение вектора $\mathbf {W} =(w_{2},\dots ,w_{J+1})'$, такого, что $\forall j:w_{j}>0\land \sum \limits _{j}w_{j}=1$. Метод синтетического контроля заключается в подборе такого набора весов $({\tilde {w}}_{2},\dots ,{\tilde {w}}_{J+1})'$, что при $t\leq T_{0}$, $\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}=Y_{1t}$ (то есть до воздействия веса сохраняют наблюдаемое значения отклика неизменным) и $\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}\mathbf {Z} _{j}=\mathbf {Z} _{1}$ (и при этом эти веса позволяют точно моделировать ковариаты рассматриваемого региона через ковариаты регионов контрольной группы).

В литературе было показано, что если отклонения специфичностей $\epsilon _{it}$ незначительны при данном $T_{0}$, размере периода до воздействия, $Y_{1t}^{N}-\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}\to 0$, то есть разница между моделируемым, ненаблюдаемым откликом в отсутствие воздействия и взвешенным, но наблюдаемым в его присутствии, в таких условиях ничтожно. Соответственно, предлагается такая оценка эффекта воздействия ($a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}$):

${\hat {a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}$

Оптимизация алгоритма

С вычислительной точки зрения, расчёт искомых весов связан с минимизацией по вектору весов $\mathbf {W}$ нормы $\|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|$, где $\mathbf {X} _{1}$ — вектор значений ковариатов для исследуемого региона до момента $T_{0}+1$, а $\mathbf {X} _{0}$ — матрица значений ковариатов для контрольных регионов. Вне зависимости от выбора исследователем положительно определённой матрицы $\mathbf {V}$, оптимизируемая норма раскрывается как $\|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|_{\mathbf {V} }={\sqrt {(\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )'\mathbf {V} (\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )}}$ .

Для того, чтобы получить конечное значение $\mathbf {V}$, проводят внешнюю оптимизацию по параметру $\mathbf {V}$ с использованием коэффициентом дисконтирования $\beta$, повышающим вес недавних наблюдений. Эту оптимизацию можно описать следующим образом: $\sum \limits _{t=1}^{T}\beta ^{T-t}\left(Y_{1t}-\sum \limits _{j=2}^{J+1}{\tilde {W}}_{j}(V)Y_{jt}\right)^{2}\to min$, где ${\tilde {\mathbf {W} }}$ — вектор минимальных весов, полученный на предыдущем этапе.

Статистическая значимость результатов

Определение статистической значимости полученных оценок может быть проведено посредством различных техник. В статье 2003 года, оценивающей влияние терроризма и прочих проявлений политического насилия на экономику Страны Басков, рассчитанный эффект был подвергнут т. н. плацебо-тесту (placebo test), заключавшемуся в осуществлении идентичного алгоритма синтетического контроля к Каталонии, также известной своим значительным сепаратистским движением, но не испытывавшей проблем с террористическими проявлениями этого движения.

Плацебо-тесты в литературе, использующей метод синтетического контроля, являются примером непараметрических пермутационных тестов. Моделирование синтетического отклика для всех контрольных кейсов в выборке позволяет в явном виде работать с вероятностным распределением и проверять нулевую гипотезу об отсутствии казуальных эффектов в рассматриваемом кейсе. При этом нет необходимости асимптотически приближать распределение этих эффектов у контрольных кейсов к тому или иному распределению, что и делает тесты подобного типа пермутационными.

Синтетический контроль как метод предсказания

В литературе было предложено использовать SCM не только для оценки причинно-следственных связей, но и построения прогнозов. В рамках пилотного исследования была предпринята попытка спрогнозировать экономический рост в Соединённых Штатах Америки, однако использующийся для получения весов «пул доноров» состоял уже не из стран с похожими характеристиками, но из показателей экономического роста с определённым временным лагом.

Синтетический контроль и другие методы

Синтетический контроль совмещает элементы других каузальных статистических методов: разности разностей и мэтчинга.

По сравнению с разностью разностей синтетический контроль предлагает более упорядоченную процедуру подбора весов для наблюдений из контрольной группы, использует больший временной промежуток перед воздействием и требует максимально возможного приближения характеристик контрольной группы к характеристикам исследуемого объекта в ходе подбора весов.

Метод синтетического контроля обладает набором сходств с линейной регрессией. Так и синтетический контроль, и регрессионный анализ предполагают линейную комбинацию весов и переменных (в последнем веса, как правило, называются регрессионными коэффициентами), причём сумма весов равняется 1. Основным различием является то, что в SCM значения этих весов заключены в $[0,~1]$, тогда как в регрессионном анализе такого ограничения нет и коэффициенты практически не интерпретируются как веса Так контрфактуальная Германия из исследования 2015 года была «синтезирована» на основании подушного ВВП, уровня инвестиций, торговой открытости, количества школ и доли промышленности в прибавочном продукте Австрии (42%), США (22%), Японии (16%), Швейцарии (11%) и Нидерландов (9%).

Симуляции показали, что панельный метод Сяо (фиксированные эффекты с эффектами взаимодействия) для исследования каузальных эффектов является менее робастным к изменению в пуле доноров, нежели синтетический контроль, хотя использование обоих подходов приводит к удовлетворительным результатам. Отмечалось, что синтетический контроль является более предпочтительным, если у исследователя есть данные по дополнительным временным периодам.

Применение

Область применения метода синтетического контроля охватывает исследования политики в сфере здравоохранения, криминологию, политическую науку, различные разделы экономики.

В политологии SCM рассматривается как компромисс между конвенциональными количественными и качественными методами, позволяющий совмещать фокус на одном или нескольких кейсах со строгими критериями их подбора. Посредством этого метода изучались: экономический эффект от объединения Германии для собственно ФРГ, последствия федеративной реформы в Бельгии для расходов на социальное обеспечение.

В географии SCM используется в исследованиях антропогенных ландшафтов (в рамках land systems science).

В статистических пакетах

Существуют пакеты для анализа данных посредством метода синтетического контроля в статистическом программном обеспечением. Для языка R был разработан пакет Synth.

См. также

• Метод инструментальных переменных