Сизигия (алгебра)

Сизигия (от др.-греч. σύ-ζῠγος, «сопряжение, соединение») — соотношение между порождающими модуля М. Набор всех таких соотношений называют «первым модулем сизигий» M. Более строго модуль сизигий определяется как ядро эпиморфизма из свободного модуля в модуль M. Соотношения между порождающими первого модуля сизигий называют «второй сизигией» М, и набор всех таких соотношений называют «вторым модулем сизигий M». Продолжая таким образом, мы получаем n-ный модуль сизигий М, беря набор всех соотношений между порождающими (n − 1)-го модуля сизигий М.

Иначе модуль сизигий можно определить при помощи свободной (или проективной) резольвенты. Если есть свободная резольвента

$\dots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0$ модуля $M$,

то образ гомоморфизма $F_{n}\to F_{n-1}$ является $n$-ым модулем сизигий, который обозначается $\Omega ^{n}(M)$. $n$-ый модуль сизигий $\Omega ^{n}(M)$ зависит от выбора свободной резольвенты, но для любых двух свободных резольвент соответствующие модули сизигий $\Omega ^{n}(M),{\tilde {\Omega }}^{n}(M)$ стабильно изоморфны. То есть существуют такие свободные модули $F,F'$ такие, что $\Omega ^{n}(M)\oplus F\cong {\tilde {\Omega }}^{n}(M)\oplus F'.$

См. также

• Теорема Гильберта о сизигиях
• Гильберт, Давид