Связное двоеточие

Свя́зное двоето́чие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов $\circ$ («открыто») и $\bullet$ («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

$\varnothing$ — пустое множество;
$\{\circ \}$ — множество из одного элемента «открыто»;
$\{\circ ,\bullet \}$ — всё пространство.

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только $\{\circ \}$ , а замкнутым — только $\{\bullet \}$ . Мы видим, что точка $\bullet$ не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка $\circ$ не является замкнутым подмножеством.

Отображение $F$ из топологического пространства $X$ в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз $F^{-1}(\circ )$ точки $\{\circ \}$ открыт в $X$ (или, что то же самое, прообраз $F^{-1}(\bullet )$ точки $\{\bullet \}$ замкнут в $X$ ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.

Александровский куб — степень связного двоеточия $F^{m}$ — является универсальным пространством для $T_{0}$ -пространств веса $m$ при $m\geqslant \aleph _{0}$ , то есть любое $T_{0}$ -пространство веса $m$ гомеоморфно подпространству $F^{m}$ ^[1].