Свойство разделения дисков

Свойство разделения дисков (или DDP от англ. disjoint discs property) — ключевое свойство топологических многообразий размерности 5 и выше, которое выделяет их из класса гомологических многообразий.

История

Идея определения восходит к теореме о двойной надстройке.

Формулировка

Метрическое пространство $X$ удовлетворяет свойству разделения дисков, если каждая пара отображений стандартного 2-диска в $X$ может быть аппроксимирована произвольно близко парой отображений с дизъюнктными образами.

Основная теорема

• Пусть $q\geqslant m\geqslant 5$, и замкнутое множество $X\subset \mathbb {R} ^{q}$ таково, что
  • $X$ является ретрактом некоторой своей окрестности в $\mathbb {R} ^{q}$,
  • $X$ является m-мерным гомологическим многообразием и
  • $X$ удовлетворяет свойству разделения дисков.

Тогда $X$ является m-мерным топологическим многообразием.

Более того, если $p\colon M\to X$ — клеточноподобное разрешение $X$, то $p$ аппроксимируется гомеоморфизмами. В частности, $X$ гомеоморфно $M$.

Следствия

• Если симплициальный комплекс $S$ является гомологическим многообразием и линки всех его вершин односвязны, то $S$ гомеоморфен многообразию.

Литература

• J. Bryant, S. Ferry, W. Mio and S. Weinberger. Topology of homology manifolds // Ann. of Math.. — 1996. — Vol. 143. — P. 435–467. — doi:10.2307/2118532.
• Disjoint disks property (англ.) на сайте PlanetMath.