Свойство продолжения гомотопии

Свойство продолжения гомотопии (или свойство Бо́рсука) говорит, что гомотопия на подпространстве может быть продолжена до гомотопии на всём топологическом пространстве.

Определение

Пусть $X$ — это топологическое пространство и $A\subset X$. Пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии (является парой Борсука), если для любого топологического пространства $Y$ и любого непрерывного отображения $f\colon X\rightarrow Y$ любую гомотопию ${\widetilde {F}}_{t}\colon A\rightarrow Y$ ограничения $f|_{A}$ можно продолжить до гомотопии $F_{t}\colon X\rightarrow Y$ отображения $f$.

Свойства

• Пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии тогда и только тогда, когда $X\times \{0\}\cup A\times I$ — ретракт пространства $X\times I$.
• Если пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии и $A$ стягиваемо, то отображение факторизации $q\colon X\rightarrow X/A$ является гомотопической эквивалентностью.
• Лемма Борсука. Пусть $X$ — это CW-комплекс и $A$ — подкомплекс $X$, тогда пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.