Свободная энергия Франка — Озеена

Плотность свободной энергии Франка — Озеена (свободной энергии деформации жидкого кристалла) — величина, описывающая увеличение плотности свободной энергии жидкого кристалла, вызванное деформацией кристалла из конфигурации с однородным распределением поля директора.

Название дано в честь британского физика Фредерика Франка и шведского физика Карла Озеена, внёсших большой вклад в изучение жидких кристаллов.

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной энергии деформации нематического жидкого кристалла представляет меру увеличения плотности свободной энергии из-за отклонений ориентации директора от однородной. Следовательно, полную плотность свободной энергии можно записать в виде:

${\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d}$,

где ${\mathcal {F}}_{T}$ — полная свободная энергия жидкого кристалла; ${\mathcal {F}}_{0}$ — свободная энергия нематика с однородно распределённым полем директора; ${\mathcal {F}}_{d}$ — свободная энергия деформаций.

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}$

Константы $K_{i}$ называются постоянными Франка. Они, как правило, порядка $10^{-6}$ дин. Каждое из трёх слагаемых соответствует определённому типу деформации нематика: первое — поперечному изгибу, второе — кручению, третье — продольному изгибу. Комбинация этих слагаемых может использоваться для описания произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка являются величинами одного порядка, поэтому зачастую полагают $K_{1}=K_{2}=K_{3}=K$. Это приближение обычно называют одноконстантным, и его часто используют, так как оно значительно упрощает выражение для свободной энергии деформации:

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K((\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+(\operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2})={\frac {1}{2}}K\partial _{\alpha }n_{\beta }\partial _{\alpha }n_{\beta }$

К свободной энергии обычно добавляют четвёртое слагаемое, которое называется энергией седловидного изгиба и описывает поверхностное взаимодействие. Это слагаемое, впрочем, зачастую игнорируют при вычислении распределения поля директора, поскольку энергия, заключённая в объёме, гораздо больше энергии, связанной с поверхностными эффектами. Оно записывается в виде:

${\frac {1}{2}}K_{24}\nabla \cdot ((\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n}} -\mathbf {\mathbf {\hat {n}} } (\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} ))$.

Холестерический жидкий кристалл

Для жидких кристаллов, состоящих из хиральных молекул, к плотности свободной энергии деформации добавляется дополнительное слагаемое. Оно меняет знак при изменении направления директора на обратное и даётся формулой:

${\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )$

Множитель $k_{2}$ не зависит от степени молекулярной хиральности. Поэтому для холестерического жидкого кристалла полная свободная энергия записывается в виде:

${\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}$,

где $q_{0}=2\pi /P_{0}$, а $P_{0}$ есть шаг холестерической спирали.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Статистическая физика. Ч. 1. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 616 с. — (Курс теоретической физики, т. V). — ISBN 978-5-9221-0054-0.
• Chaikin P. M., Lubensky T. C. . Principles of Condensed Matter Physics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995. — 699 p. — ISBN 0-521-43224-3.
• Chandrasekhar, Sivaramakrishna. . Liquid Crystals. 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — xv + 460 p. — ISBN 0-521-41747-3.
• de Gennes P. G., Prost J. . The Physics of Liquid Crystals. 2nd edition. — Oxford: Clarendon Press, 1995. — 616 p. — ISBN 0-19-851785-8.