Ряд Пеано

Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером.

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

Определение

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

$\int Y'dx=AY+F$,

где $Y$ — вектор неизвестных функций, $A$ — матрица коэффициентов $F$ — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

$Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left(t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots ,n$.

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

$\Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]$.

$Y=\Omega C+{Y_{F}}$, ${Y_{F}}=\Omega \int {{\Omega ^{-1}}F}$

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы $A$ представим в виде операторного ряда:

$\Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A\,+\ldots$,

где $E$ — единичная матрица. При этом матрица $A$ должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

$\int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots }\right)}\,dt\,;{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots }\right)=\,\int {\int {\left({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi }}{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{array}}\,dt$.

Из этих выражений следует, что

$\Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E$.

${\omega _{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\left\{{y_{0,i}}\right\}^{T}};\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\left({t_{0}}\right)$.

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

$Y=\Omega \cdot ({Y_{0}}+{U_{P}})\,;\quad {U_{P}}=\int {{\Omega ^{-1}}F\,.}$.

Здесь $Y_{0}$ — вектор начальных значений, которые заданы при $t=t_{0}$. $U_{P}$ — вектор внешних воздействий, которые действуют при $t\geq t_{0}$. Не нарушая общности, можно считать, что $t_{0}=0$.

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда Пеано

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения $t$ абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

$M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu {{\left(t\right)}^{2}}}{2!}}+{\frac {{n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu {{\left(t\right)}^{k}}}{k!}}+\ldots$,

$\mu \left(t\right)=\mathop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij}}\left(t\right)}\right|dt}$.

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций $a_{ij}$ в заданном интервале изменения $t$.

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

${y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)$

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

${y_{i}}={y^{(i-1)}};{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots ,n}\\\end{array}}$.

Продифференцировав это равенство, получим: ${y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}$

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при $i-1,2,\dots ,n-1$. Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме $y^{(n)}$, в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

${\begin{array}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}}=-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots -{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_{n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{array}}$

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

$Y'=AY+F$.

Матрица $A$ и вектор $F$ этой системы имеют вид:

$A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{array}}\right]$; $F={\left\{{0,\ldots ,0,f(x)}\right\}^{T}}$.

В векторе $Y$ каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в $\Omega$, начиная со второй, является производной от предыдущей:

${\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}$

Если обозначить ${\omega _{1j}}={\psi _{j}}$, то матрицант можно представить в виде:

$\Omega =W=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\psi _{1}},{\psi _{2}},\ldots ,{\psi _{n}}}\\{{{\psi '}_{1}},{{\psi '}_{2}},\ldots ,{{\psi '}_{n}}}\\\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots ,\psi _{n}^{(n-1)}}\\\end{array}}\right]$

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

$y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)$.

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

$Y={\left\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T}}$; $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}\\\end{array}}\right]$; $F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T}}$.

Если $a_{1}=0$, то элементы матрицанта можно представить в виде:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _{12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{array}}\right.$

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

$y''+{\omega ^{2}}\,y=0$, ${a_{0}}=-{\omega ^{2}};\quad {a_{1}}=0$.

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

${\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,$;

${\omega _{12}}=t\;.-{\frac {{\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^{4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t$.

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

$\Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{array}}\right]\,$.

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

$y''+\,\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}$.

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа $\lambda$. Например:

${\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }$

${\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\ldots }\ldots }$

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном виде

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задач

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.