Равномерно распределённая последовательность

Равномерно распределённая последовательность — бесконечная последовательность вещественных чисел $s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots$ из заданного интервала $(a;b)$ ($a<b$), в которой в любом ненулевом отрезке $(c;d)$ ($c<d$) доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к отношению длины отрезка $(c;d)$ к длине интервала $(a;b)$:

$\lim _{n\to \infty }{{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}={{d-c} \over {b-a}}}$,

где $\varphi _{n}(c,d)$ — количество чисел из $s_{1},\dots ,s_{n}$, попавших в $(c;d)$.

Расхождением D_n для последовательности $s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots$ на отрезке $[a;b]$ называется величина

$D_{n}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}-{\frac {d-c}{b-a}}}\right\vert .$

Последовательность оказывается равнораспределённой, если расхождение D_n стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Равномерное распределение — довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент, не оставляя пробелов. Для получения более строгих критериев и для построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. последовательность с низким расхождением.

Ключевым результатом, касающимся равномерно распределённых последовательностей, является теорема Вейля о равномерном распределении.

Литература

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.