Проблема якобиана

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия

Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$:

$f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (1)$

Предположим, что для любого набора $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$ система уравнений

$f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}$

имеет единственное решение $(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$ и существуют такие многочлены

$g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$,

что каждое $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$. Предполагается, что многочлены $g_{1},g_{2},...,g_{N}$ не зависят от набора свободных членов $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ однозначно представляется в виде многочлена от $f_{1},f_{2},...f_{N}$ (и от $g_{1},g_{2},...g_{N}$). Система (1) задаёт полиномиальное отображение $f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N}$, при котором

$f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1},...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)$.

Отображение $f$ является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение $f^{-1}$, переводящее $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$ в

$f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения $f$) $J(f)({\overline {X}})$ размера $N$, в которой на месте $(i,j)$ стоит частная производная $\partial f_{i}/\partial X_{J}$. Зададим другое полиномиальное отображение $h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}$ и рассмотрим их композицию $fh$, матрица Якоби которой равна

$J(fh)({\overline {X}})=J(f)(h({\overline {X}}))J(h)({\overline {X}})$.

Вычисляя определители, получаем, что

$\det(J(fh))({\overline {X}})=\det(J(f))(h({\overline {X}}))\det(J(h))({\overline {X}})$.

В частности, если заданы полиномиальные отображения $f$ и $f^{-1}$, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица $E=J(f^{-1}f)({\overline {X}})=J(f^{-1})(f({\overline {X}}))J(f)({\overline {X}})$, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

$\det(J(f))({\overline {X}})$

является ненулевой константой.

Формулировка

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение $f$ вида (2), причем $\det(J(f))$ является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ в виде многочлена от $f_{1},f_{2},...,f_{n}$?

Результаты

До 2022 года проблема была решена для случая, когда $N=2$ и степени $f_{1},f_{2}$ не выше 150, а также если $N$ любое, но степени всех многочленов $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ не выше 2. Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое $f_{i}$ является многочленом степени не выше 3.

Литература

1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;