Поток средней кривизны

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

Уравнение

Однопараметрическое семейство поверхностей $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$ является потоком средней кривизны, если

${\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t}}=H_{t}(x)\cdot n(x),$

где $H_{t}(x)$ и $n(x)$ обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности $f_{t}(S)$ в точке $f_{t}(x)$.

Свойства

• Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
  • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
• Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
• Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
• Формула монотонности Хуйскена
• Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
  • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.

См. также

• Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
• Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

Применения

• Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной $C^{2}$-гладкой гиперповерхности аналитическими.

Литература

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949.
• Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, Davidd (2002), "Surface evolution under curvature flows", Journal of Visual Communication and Image Representation, 13 (1–2): 65—81, doi:10.1006/jvci.2001.0476. См., в частности, уравнения 3a и 3b.