Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина $\displaystyle X$ с неизвестным (полностью или частично) распределением $\mathbb {P}$ (формально, в математической нотации, $X:\Omega \mapsto \mathbb {R}$, где вероятностное пространство $\Omega$ снабжено $\sigma$-алгеброй событий ${\mathcal {F}}$, и $\displaystyle X$ измерима относительно Борелевской $\sigma$-алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза $H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ против альтернативы $H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$.

На каждом этапе $i\geq 1$ статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина $\displaystyle X_{i}$ — копия $\displaystyle X$, до тех пор пока $i\leq \nu$, где $\displaystyle \nu$ — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара $(\nu ,\delta )$, где $\displaystyle \delta$ — любая функция от $(X_{1},\dots ,X_{\nu })$, принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой $H_{0}$ или альтернативной $H_{1}$ гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности $\sigma$-алгебр ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\dots X_{n})$, порожденных случайными величинами $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$, $n=1,2,\dots$. Тогда решающая функция $\displaystyle \delta$ должна быть измеримой относительно $\sigma$-алгебры ${\mathcal {F}}_{\nu }$ событий, предшествующих моменту $\nu$: ${\mathcal {F}}_{\nu }=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}}_{n}\}$.

Функция мощности критерия $(\nu ,\delta )$ в "точке" $\mathbb {P}$ определяется как $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)$. Если $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$, то $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )$ называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$, то $\mathbb {P} (\delta =0)$ называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерии

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара $\displaystyle (\psi ,\phi )$, где $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$, $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$, и $\psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$, $\phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, $n=1,2,\dots$. На каждом этапе $n\geq 1$ (если эксперимент до него дошел) $\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а $\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

$\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ называется рандомизированным правилом остановки, а $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$ - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все $\displaystyle \psi _{n}$ принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки $\displaystyle \psi$ определяет нерандомизированный момент остановки $\nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=1\}$. Аналогично, если все $\displaystyle \phi _{n}$ принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения $\displaystyle \phi$ определяет нерандомизированную решающую функцию: $\displaystyle \delta =\phi _{n}$, если $\displaystyle \psi _{n}=1$.

Функция мощности критерия $(\psi ,\phi )$ в "точке" $\mathbb {P}$ определяется как $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}$, где $\mathbb {E}$ - математическое ожидание относительно $\mathbb {P}$. Если $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$, то $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ - вероятность ошибки первого рода. Если $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$, то вероятность ошибки второго рода равна $\mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$, где $\mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}$. Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки $\psi$ определяется как $E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1})\psi _{i}$, если $\mathbb {P} (\nu <\infty )=1$ (в противном случае $E\nu =\infty$).

Пример

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)

Ссылки

• Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
• Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.