Последовательность Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса  — естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий  гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.

Формулировка

Предположим, топологическое пространство $X$ представляется как объединение открытых подмножеств $A$ и $B$. Последовательность Майера — Вьеториса:

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$

Отображения границы ∂_* на торе, где 1-цикл x = u + v — сумма двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении A и B.

Здесь отображения $i\colon A\cap B\to A$, $j\colon A\cap B\to B$, $k\colon A\to X$, $l\colon B\to X$ — отображения включения, и $\oplus$ обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы $\partial _{*}$, понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в $H_{n}(X)$ представляется $n$-циклом $x$, который может быть записан как сумма двух $n$-цепей $u$ и $v$, образы которых лежат полностью в $A$ и $B$, соответственно. Этого можно добиться, применив к $x$ барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом, $\partial x=\partial u+\partial v=0$, так что $\partial u=-\partial v$. Заметим, что обе границы $\partial u$ и $\partial v$ лежат в $A\cap B$. Тогда $\partial _{*}[x]$ определяется как класс $[\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)$. При этом выбор разложения $x=u+v$ не влияет на значение $[\partial u]$.

Замечания

• Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для $A$ и $B$.
  • В частности, отображение границы меняет знак, если $A$ и $B$ меняются местами.

Приложения

Гомологии сферы

Разложение сферы

Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу $S^{k}$ как объединение двух k-мерных дисков $A$ и $B$ с пересечением, гомотопически эквивалентным $(k-1)$-мерной экваториальной сфере $S^{k-1}$. Поскольку $A$ и $B$ стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

$0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0$

при $n\geqslant 1$. Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂_* является изоморфизмом при $n\geqslant 1$. Следовательно,

$H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z}$, если $n=k,0$,

иначе $H_{n}(S^{k})\cong 0$

Бутылка Клейна

Разложение Бутылки Клейна  на две ленты Мебиуса, красную и синюю.

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса $A$ и $B$, склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда $A$, $B$ и их пересечение $A\cap B$ гомотопически эквивалентны окружности.  Нетривиальная часть последовательности дает

$0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0$

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что $\alpha (1)=(2,2)$, поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, $\alpha (1)$ инъективен. Следовательно, $H_{2}(X)=0$. Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в $\mathbb {Z} ^{2}$, получаем

${H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$

Вариации и обобщения

• Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что $A$ и $B$ имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:

  $\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.$

• Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:

  $\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots$

См. также

• Теорема ван Кампена