Попарная независимость

В теории вероятностей, попарно независимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.

На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида «$X$, $Y$, $Z$ являются независимыми случайными величинами» означает, что $X$, $Y$, $Z$ являются независимыми в совокупности.

Пример

Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну

Пусть случайные величины $X$ и $Y$ обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть $Z$ — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка $(X,\;Y,\;Z)$ имеет следующее вероятностное распределение:

$(X,Y,Z)=$	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right.$	$(0,\;0,\;0)$ с вероятностью 1/4,
		$(0,\;1,\;1)$ с вероятностью 1/4,
		$(1,\;0,\;1)$ с вероятностью 1/4,
		$(1,\;1,\;0)$ с вероятностью 1/4.

Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны: $f_{X}(0)=f_{Y}(0)=f_{Z}(0)=1/2$ и $f_{X}(1)=f_{Y}(1)=f_{Z}(1)=1/2$. Распределения любых пар этих величин также равны: $f_{X,\;Y}=f_{X,\;Z}=f_{Y,\;Z}$, где $f_{X,\;Y}(0,\;0)=f_{X,\;Y}(0,\;1)=f_{X,\;Y}(1,\;0)=f_{X,\;Y}(1,\;1)=1/4.$

Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:

• $X$ и $Y$ независимы,
• $X$ и $Z$ независимы,
• $Y$ и $Z$ независимы.

Несмотря на это, $X$, $Y$ и $Z$ не являются независимыми в совокупности, поскольку $f_{X,\;Y,\;Z}(x,\;y,\;z)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)f_{Z}(z)$. Для $(X,\;Y,\;Z)=(0,\;0,\;0)$ левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин $X$, $Y$ и $Z$ однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.

Обобщение

В общем случае для любого $n\geqslant 2$ можно говорить о $n$-арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является $n$-арно независимым, если любое его подмножество мощности $n$ является независимым в совокупности. $n$-арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.

См. также

• Попарно
• Попарно дизъюнктивные семейства множеств