Поляризация (алгебра Ли)

Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли методом орбит, а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли, ${\mathfrak {g}}$ — её алгебра Ли, ${\mathfrak {g}}^{*}$ — сопряжённое к ${\mathfrak {g}}$ пространство. Посредством $\langle f,\,X\rangle$ обозначим значение линейного функционала (ковектора) $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ на векторе $X\in {\mathfrak {g}}$. Подалгебра ${\mathfrak {h}}$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ называется подчинённой ковектору $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$, если выполняется условие

$\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h}}$,

или, более коротко,

$\langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0$.

Пусть, далее, группа $G$ действует на пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ коприсоединённым представлением $\mathrm {Ad} ^{*}$. Обозначим посредством ${\mathcal {O}}_{f}$ орбиту этого действия, проходящую через точку $f$, а ${\mathfrak {g}}^{f}$ — алгебру Ли группы $\mathrm {Stab} (f)$ — стабилизатора точки $f$. Подалгебра ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$, подчинённая функционалу $f$, называется поляризацией алгебры ${\mathfrak {g}}$ относительно $f$, или, короче, поляризацией ковектора $f$, если она имеет максимально возможную размерность, а именно

$\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}$.

Условие Пуканского

Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским.

Пусть ${\mathfrak {h}}$ — поляризация, соответствующая ковектору $f$, ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$, значение которых на ${\mathfrak {h}}$ равно нулю: ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}$. Поляризация ${\mathfrak {h}}$ называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского:

$f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}$.

(1)

Л. Пуканский показал, что условие (1) гарантирует применимость метода орбит А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп.

Свойства

• Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$.
• Поляризация существует не для всякой пары $({\mathfrak {g}},\,f)$.
• Если для функционала $f$ существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты ${\mathcal {O}}_{f}$, причём если ${\mathfrak {h}}$ — поляризация для $f$, то $\mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}$ — поляризация для $\mathrm {Ad} _{g}^{*}f$. Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом.
• Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$.
• Если ${\mathcal {O}}$ — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой.
• Если для орбиты ${\mathcal {O}}$ существует поляризация, то вложение ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$, линейными по $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ переменным $p$, где $(q,\,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\mathcal {O}}$..