Плоский оптический волновод

Плоские оптические волноводы — тонкие диэлектрические плёнки с малым поглощением на прозрачной подложке с относительно малым поглощением, пространственно неоднородные прозрачные структуры для направления света. Применяются в качестве передающей среды в системах оптической связи. Примерами использования плоских оптических волноводов служат : датчик веса, датчик концентрации аммиака в атмосфере, интегрально-оптические датчики газовых примесей, межсоединения в печатных платах и гибридных интегральных схемах, многоканальные оптические разветвители и др.

Изготавливаются на поверхности монокристаллической подложки с использованием методов фотолитографии в комплексе с методами термодиффузии, имплантации, эпитаксиального наращивания, ионного обмена и осаждения. Типичные значения разности между показателями преломления пленки и подложки лежат в диапазоне от $10^{-3}$ до $10^{-1}$, а типичная толщина пленки составляет 1 мкм.

Геометрическая оптика плоских волноводов

Распространение света в плоском волноводе описывается на примере распространения одного из световых лучей, который ограничивается в сердечнике (плёнке), испытывая многократные полные или частичные внутренние отражения (так как показатель преломления сердцевины $n_{1}$ всегда выше, чем показатели преломления подложки или оболочки $n_{2}$ и $n_{3}$ — покровного слоя). Условие для эффекта полного внутреннего отражения :

Угол падающего луча должен быть больше некоторого критического угла, зависящего от величин показателей преломления.

$\Theta >\Theta$_кр

$\sin \Theta =$${\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

(условия одинаковы для границ раздела сердцевина-подложка и сердцевина-покровный слой)

На границу двух изотропных, однородных диэлектрических сред без потерь (с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ или $n_{1}$ и $n_{3}$) падает когерентная световая волна, нормаль к волновой поверхности которой образует с нормалью к границе раздела угол $\Theta _{1}$.

Для плоской границы раздела диэлектриков закон Снеллиуса утверждает, что :

• падающий, отражённый и преломлённый лучи лежат в одной плоскости
• волна с комплексной амплитудой А на границе раздела частично отражается и частично преломляется.
• угол отражения равен углу падения
• угол преломления связан с углом падения соотношением :

$\sin \Theta _{2}/\sin \Theta _{1}=n_{1}/n_{2}=\surd \varepsilon _{1}/\varepsilon _{2}$

На границах подложка-сердцевина или покровный слой-сердцевина комплексная амплитуда преломленной волны В линейно связана через комплексный коэффициент отражения R с комплексной амплитудой А:

$B=R\cdot A$

Коэффициенты отражения и пропускания влияют на фазовый сдвиг волны. Выражения для них непостоянны и зависят от угла падения света. Выделим два случая падения световой волны на границы раздела волновода — перпендикулярный и неперпендикулярный.

Для неперпендикулярного падения волны на границу раздела плоского волновода мы получим разные значения коэффициентов для разных вариантов поляризации:

1) ТЕ- поляризация (вектор электрического поля перпендикулярен плоскости падения)

Коэффициент отражения Френеля

$R={\frac {n_{1}\cos \Theta _{1}-n_{2}\cos \Theta _{2}}{n_{1}\cos \Theta _{1}+n_{2}\cos \Theta _{2}}}={\frac {n_{1}\cos \Theta _{1}-\surd n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin \Theta _{1}}{n_{1}\cos \Theta _{1}+\surd n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin \Theta _{1}}}$

Коэффициент пропускания Френеля

$T={\frac {\sin 2\Theta _{1}\sin 2\Theta _{3}}{\sin ^{2}(\Theta _{1}+\Theta _{2})}}$

$\Theta _{1}-$угол падения, $\Theta _{2}-$угол преломления, $\Theta _{3}-$угол отражения (равен углу падения)

2) ТМ-поляризация (магнитные поля перпендикулярны плоскости падения)

Коэффициент отражения Френеля

$R={\frac {n_{2}\cos \Theta _{1}-n_{1}\cos \Theta _{2}}{n_{2}\cos \Theta _{1}+n_{1}\cos \Theta _{2}}}={\frac {n_{2}^{2}\cos \Theta _{1}-n_{1}\surd n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin \Theta _{1}}{n_{2}^{2}\cos \Theta _{1}+n_{1}\surd n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin \Theta _{1}}}$

Коэффициент пропускания Френеля

$T={\frac {\sin 2\Theta _{1}\sin 2\Theta _{2}}{\sin ^{2}(\Theta _{1}+\Theta _{2})\cos ^{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}}$

При перпендикулярном падении волны на границу раздела плоского волновода значение коэффициентов Френеля для обеих поляризаций одинаковы и описываются выражениями:

$R=({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}})^{2}$

$T={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$ Во всех вышеуказанных случаях сумма коэффициентов отражения и пропускания для плоской границы раздела между двумя диэлектриками с действительными диэлектрическими проницаемостями равна единице.

Коэффициент отражения может обращаться в нуль только для волн поляризованных в плоскости падения и падающих под углом Брюстера :

$tg\Theta _{1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Коэффициент пропускания обращается в нуль для обеих поляризаций волны при падении под критическим углом. Коэффициент отражения под этим углом и под превышающими углами равен единице.

При углах, превышающих критический, наступает полное внутреннее отражение и во второй диэлектрической среде имеется только одна затухающая волна. При увеличении угла падения эта волна быстро затухает :

$E_{1}=E_{2}\cdot e^{-iwt+i\beta z+\alpha x}$

Где $\beta =kn_{1}sin\Theta _{1}$, $\alpha =kn_{1}\surd (sin^{2}\Theta -{\frac {n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}})$

Отражённая волна претерпевает сдвиг фазы, величина которого определяется выражениями :

для ТМ-мод

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} \mathrm {M} }={\frac {{\frac {n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}}\cdot \surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

для ТЕ-мод

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} E}={\frac {\surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

Для пучка света с конечным поперечным сечением при отражении происходит сдвиг оси пучка, называемый сдвигом Гуса-Хэнкена :

$z_{s}={\frac {1}{2kn_{1}cos\Theta _{1}}}\cdot {\frac {d\delta }{d\theta _{1}}}$

Подставляя это выражения в выражения для сдвигов фаз, получаем :

1) для перпендикулярного падения волны (ТЕ-моды)

$z_{s}={\frac {tg\Theta _{m}}{k\surd (n_{1}^{2}sin^{2}\Theta _{m}-n_{2}^{2})}}$

2) для неперпендикулярного падения волны (ТМ-моды)

$z_{s}={\frac {n_{2}^{2}tg\Theta _{m}}{k\surd (n_{1}^{2}sin^{2}\Theta _{m}-n_{2}^{2})\cdot (n_{1}^{2}sin^{2}\Theta _{m}-n_{2}^{2}cos^{2}\Theta _{m})}}$

При рассмотрении плоской («асимметричной») волноводной структуры, состоящей из пленки, подложки и покровного слоя (чаще всего — воздуха) справедливо неравенство $n_{1}>n_{2}>n_{3}$ и существуют два критических yглa: угол полного внутреннего отражения $\Theta _{13}$ на границе раздела пленка — подложка и yгол полного внутреннего отражения ${\displaystyle \Theta _{23}}<{\displaystyle \Theta _{13}}$ на границе раздела пленка — покровный слой. Когда угол падения $\Theta$ настолько велик, что $\Theta >\Theta _{13},\Theta _{23}$ то наблюдается полное внутреннее отражение на обеих границах раздела. То есть, свет будет распространяться в ней волноводным образом по зигзагообразному пути. Этот случай соответствует распространению волноводной моды.

Некоторые из дисперсионные свойств диэлектрического волновода описывает b-V диаграмма

Литература

К.Хельмут. В.Лотш. Проблемы прикладной физики. Часть 7. Интегральная оптика/ Под ред. Т.Тамира — М: Изд-во Мир, 1978. — 344 с.