Периодическая последовательность

Периодическая последовательность — это последовательность, в которой некоторые элементы $a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}$ повторяются в том же порядке снова и снова:

$a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\dots$

Число $p$ повторяющихся элементов называется периодом.

Определение

Периодическая последовательность (с периодом $p$), или $p$-периодическая последовательность, — это последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$, удовлетворяющая соотношению $a_{n+p}=a_{n}$ для всех значений $n$. Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее $p$, для которого периодическая последовательность $p$-периодична, называется её наименьшим периодом.

Примеры

Любая постоянная функция 1-периодична.

Последовательность $1,2,1,2,1,2,\dots$ периодична с наименьшим периодом 2.

Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:

${\frac {1}{7}}=0,(142857)$

Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже).

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

Последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.

Периодическая точка для функции $f:X\rightarrow X$ — это точка $x$, Траектория которой

$x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots$

является периодической последовательностью. Здесь $f^{n}(x)$ означает $n$-кратную композицию функции $f$, применённую к $x$. Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества имеет периодическую точку. Нахождение цикла для поиска такой точки является алгоритмической задачей.

Тождества

Частичные суммы

$\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\cdot \sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}$, где $k$ и $m<p$ являются натуральными числами.

Частичные произведения

$\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}$, где $k$ и $m<p$ являются натуральными числами.

Периодические 0, 1 последовательности

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:

$\sum _{k=1}^{1}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ;$

$\sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\dots ;$

$\sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\dots ;$

$\dots$

$\sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0,\dots 0,1,\dots$ — последовательность с периодом $N$.

Обобщения

Последовательность в конечном итоге периодическая. Если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа $1/56$ в конечном итоге периодична:

${\frac {1}{56}}=0,017(857142)$

Последовательность $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$, для которой

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.$

Например, последовательность

${\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {4}{5}},\dots$

асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности $0,1,0,1,0,1,\dots$