Парадокс туннельного эффекта

Парадокс туннельного эффекта — утверждение о том, что способность микрочастиц проходить через потенциальный барьер с высотой, большей их полной энергии, якобы противоречит закону сохранения энергии. Для выполнения закона сохранения энергии в этом случае, кинетическая энергия частиц якобы должна быть отрицательной.

Физический смысл объяснения данного парадокса заключается в том, что вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, равной его ширине, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость в проекции импульса $p_{x}$ и её кинетической энергии $\Delta T$, так, что $\Delta T>(U_{m}-E)$, где $U_{m}$ — максимальная высота барьера, $E$ — полная энергия частицы. Поэтому нарушения закона сохранения энергии не происходит.

Формулировка парадокса

Рассмотрим частицу с полной энергией $E$, проходящую через потенциальный барьер с высотой $U_{m}$. Пусть полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера $E<U_{m}$. Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальных энергий $E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)$. Тогда в области, где высота потенциального барьера больше полной энергии частицы $U(x)>E$, кинетическая энергия должна быть отрицательной $T={\frac {p^{2}}{2m}}<0$.

Объяснение парадокса

Квантовая механика не позволяет рассматривать полную энергию частицы в виде суммы потенциальной и кинетической энергий. Использование формулы $E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)$ означает, что мы одновременно знаем величину потенциальной $U(x)$ и кинетической $T={\frac {p^{2}}{2m}}$энергии. Но для знания кинетической энергии необходимо точно знать импульс $p$, а для знания потенциальной энергии — координату $x$ частицы, что запрещено принципом неопределённости. Таким образом, в квантовой механике невозможно деление полной энергии на кинетическую и потенциальную, следовательно бессмысленно утверждение о точном значении кинетической энергии.

Теперь осталось лишь уточнить, можно ли в результате измерения координаты частицы обнаружить частицу внутри потенциального барьера и при этом установить, что её полная энергия меньше энергетической высоты барьера.

Из формулы для туннельного эффекта следует, что частицы проникают внутрь потенциального барьера главным образом лишь на расстояние $l$, определяемую приближённым равенством ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1$. Чтобы обнаружить частицу внутри потенциального барьера, мы должны измерить её координату с точностью не большей, чем глубина её проникновения $\Delta x<l$. Но тогда вследствие принципа неопределённости импульс частицы приобретает дисперсию ${\bar {\Delta p^{2}}}>{\frac {\hbar ^{2}}{4{\bar {\Delta x^{2}}}}}={\frac {\hbar ^{2}}{4l^{2}}}$. Величину $l$ можно найти из формулы ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1$, в результате получаем ${\frac {\bar {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E$.

Итак, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость проекции её импульса $p_{x}$, которая увеличивает кинетическую энергию частицы на величину, требуемую для прохождения барьера $U_{m}$.

См. также

• Туннельный эффект