Обсуждение:Теорема Кантора

Untitled

Зачем было формулировку менять — чем вам пустое множество-то не понравилось? Для него теорема тоже верна: в нём самом ноль элементов, а в множестве его подмножеств один элемент — пустое множество. Aldanur 07:41, 17 Окт 2004 (UTC)

Прости, просто с головой не впорядке было Tosha 22:39, 17 Окт 2004 (UTC)

Ok, But what we should do if $B=\{x\in A:x\not \in f(x)\}=\emptyset$? In other words, if we have $f:\ a\in f(a),\ \forall a\in A$? Probably, it is impossible, but i can't understand why? In case of infinity $A$ it's not so easy to see.

Ryzhiy 10:32, 10 июня 2008 (UTC)

then $\exists y:f(y)=B=\emptyset$ and $y\notin f(y)$ 128.68.23.182 07:58, 17 мая 2016 (UTC)

Как-то совсем неубедительно доказано. Неочевидно требование существования такого множества B. Да, и возможно стоило дать текстовое истолкование формул (например, множества B). Erekose 17:47, 25 мая 2010 (UTC)

Если возможно, хотелось бы увидеть опровержение следующего доказательства равномощности множества натуральных чисел множеству своих подмножеств.

Рассмотрим следующее сопоставление (отображение): натуральному числу с двоичной записью 1 сопоставим множество, содержащее только натуральное число 1, с записью 10 - содержащее только число 2, с записью 11 - содержащее числа 1 и 2. И так далее. То есть произвольному множеству чисел $A$ сопоставим число, содержащее в двоичном представлении в i-ой позиции 1, если $i\in A$ и 0, если $i\not \in A$ Например, множеству, состоящему из чисел 1, 3 и 7 будет сопоставлено число с двоичным представлением 1000101 (69). Легко увидеть, что любому множеству натуральных чисел таким образом можно сопоставить натуральное число, при том любым двум различным множествам будут сопоставлены различные натуральные числа. И наоборот - любому натуральному числу можно сопоставить множество сопоставить множество, и любым двум различным числам будут сопоставлены разные множества. То есть, данное отображение является биекцией.

Единственное множество не получившее сопоставления в таком случае - это пустое множество. Но легко показать равномощность бесконечных множеств, отличающихся одним элементом. Также легко изменить сопоставление таким образом, что и у пустого множества появится пара, и из наличия инъективных отображений в обе стороны заключить наличие биекции.

Итак, мы только что доказали, что между множеством натуральных чисел и множеством его подмножеств есть взаимно однозначное отображение. А следовательно, они равномощны.

Erekose 18:06, 25 мая 2010 (UTC)

Мне кажется верные рассуждения. А несчетные множества нужно как-то сначала определить, вряд ли эти определения выводимы из дискретной аксиоматики. Дискретно можно получить только конечные или счетные множества. Причем не более чем счетное их множество. Это как линейкой рисовать круг. Можно создать сколько угодно правдоподобное доказательство и потом мучительно искать ошибки. 109.195.83.236 14:16, 20 августа 2010 (UTC)

Хорошая мысль, совершенно согласен с предъявленным мнением. Вся тонкость момента заключается в том, что понятие натуральных чисел у математиков очень расплывчато, и например каждое из натуральных чисел является строго конечным, хотя общее их число бесконечное. В случае, если использовать приведенный способ нумерации, то полученные числа, для которых находится биекция с элементами множества всех подмножества натуральных чисел, сами по себе уже не будут натуральными, поскольку в них будет содержаться бесконечноые число разрядов.
Мне и вообще здравому рассудку не понять, как натуральные числа могут обладать таким свойством, но оно так сказать является предопределенным. Если условиться, что натуральное число может содержать бесконечное число разрядов, то в таком случае предложенный метод нумерации действительно будет работать, правда общее число таких чисел уже будет континуальным.
Если не вдаваться в формальный математический бред, то можно использовать несложное мнемоническое правило - число элементов в множестве, элементы которого представляют собой сущности N-ого порядка, определяется величиной (N+1)-ого порядка. Проще говоря, число натуральных чисел с конечным числом разрядов - счетное, количество чисел со счетным числом разрядов - континуальное, количество элементов с континуальным числом разрядов - гиперконтинуальное, и так далее. Кстати полученное мненоническое правило и есть что-то наподобие теоремы Кантора, полученной из практических соображений 94.28.220.76 16:35, 10 января 2012 (UTC)

Кантор опроверг это доказательство в своём диагональом методе. Диагональный метод говорит что "нельзя перечислить все натуральные числа" потому что поступив так мы можем построить ещё одно двоичное число которого нет в вашем списке. То есть количество перечислимых чисел неперечислимо и, по гипотизе Кантора, равно континууму. Так что опровергая ваше доказательство он доказывает то же что и оно - сопостовимость множеств. javalenok (обс) 08:15, 13 сентября 2014 (UTC)