Обсуждение:Непрерывная функция

План статьи

Пока моё видение статьи нашло отражение в следующей ниже структуре. --OZH 08:38, 8 декабря 2009 (UTC)

Преамбула [Я не определился с тем, как должна быть оформлена преамбула. Я выступаю за длинную преамбулу, а участник Тоша — за короткую.]

Введение [Должно в сжатом виде описывать содержание статьи в самых общих словах, наглядно и без формул.]

• Понятие непрерывности: взаимосвязь понятий непрерывности функции на множестве, непрерывности функции в точке, предела функции в точке.
• Точки разрыва
• Важнейшие свойства непрерывных функций: максимальные, минимальные и промежуточные значения, неподвижные точки, пространства непрерывных функции, композиция непрерывных функций
• Непрерывность и дифференцируемость: функция Вейерштрасса
• Непрерывность отображения в топологии: гомеоморфизмы

Определения

• [Обозначения]: окрестности и базы окрестностей
• Предел функции
• Колебание функции
• Непрерывность в точке
• Непрерывность на множестве
• Равномерная непрерывность
• Односторонний предел
• Точки разрыва
• Непрерывность почти всюду

Свойства

Я планировал здесь перечислить основные свойства непрерывных функций (а, также, свойств точек разрыва) в виде последовательности утверждений в следующей форме: сначала даётся формулировка свойства на естественном языке без формул, затем даётся точная математическая формулировка. В принципе, всё, что здесь есть можно перенести в раздел «Теоремы», где можно привести также и некоторые доказательства в наиболее важных случаях, а данный раздел упростить до простого списка, как это и было сделано раньше. Если поступит такое предложение, я попробую так сделать.

• Финальная ограниченность
• Сохранение знака
• Сумма и произведение непрерывных функций
• Частное от деления непрерывных функций
• Композиция непрерывных функций
• Непрерывность и компактность: Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении, Теорема Вейерштрасса о максимальном значении, Теорема Кантора о равномерной непрерывности
• Непрерывность и монотонность: Теорема об эквивалентности инъективности и монотонности, Теорема о монотонности обратной функции, Теорема о разрывах монотонной функции, Теорема о непрерывности монотонной функции, Теорема об обратной функции

Теоремы (раздел сейчас скрыт) [Здесь даются важнейшие теоремы для непрерывных функций вместе с их доказательствами на формальном языке.]

Сюда можно перенести материал из предыдущего раздела, но уже без словесных формулировок, но с доказательствами важнейших теорем (там где метод доказательств имеет важное методическое значение).

• Теорема о максимальном и минимальном значении функции на отрезке (компакте)
• Теорема о равномерной непрерывности на отрезке (компакте)
• Теорема об обратной функции

Примеры

• Элементарные функции
• Функция с устранимым разрывом
• Функция знака
• Ступенчатая функция
• Функция Дирихле
• Функция Римана

Связанные понятия (раздел сейчас скрыт)

• Модуль непрерывности
• Полунепрерывность
• Полином (многочлен) наилучшего приближения
• Ростки непрерывных функций
• Дифференцируемость
• Интегрируемость

Приложения (раздел сейчас скрыт)

• Теория приближений (теория аппроксимации): теорема Вейерштрасса о приближении функций полиномами.
• Теория дифференциальных уравнений: теорема о существовании решений задачи Коши, ломанные Эйлера.

См. также (пока неясно, на что ссылаться) [Здесь собраны вместе ссылки на основные понятия (упомянутые в статье) для дальнейшего ознакомления.]

Примечания (Если потребуются.)

Литература [Здесь приводится основная литература (небольшое количество).]

Оформление

Я пока ещё не определился с тем, как оформить раздел «Свойства». В Участник:OZH/Непрерывное отображение#Свойства]] это выглядит немного тяжеловесно. --OZH 09:11, 22 декабря 2009 (UTC)

Теоремы и их доказательства

Хотелось бы понять, можно ли подробно (хотя бы и в скрываемых шаблонах) расписывать доказательства некоторых наиболее важных теорем. Может быть, это потребует небольшого опроса? --OZH 09:14, 22 декабря 2009 (UTC)

Доказательства в википедии допустимы только как исключение (если надо продемострировать какую-нибудь идею, и ещё как пример как в статье «индукция»). Доказательства в этой статье явно не такие. --Тоша 18:42, 22 февраля 2010 (UTC)

109.174.113.151 07:35, 3 января 2016 (UTC)== Рецензирование ==

Прошу высказывать свои пожелания, делать свои замечания, предлагать изменения и предупреждать о возможных проблемах… --OZH 09:21, 22 декабря 2009 (UTC)

Я убрал излишнее многословие, но оставил практически всё информацию --- надеюсь никого не обидел. --Тоша 00:12, 14 февраля 2010 (UTC)

Спасибо, что дошли до этой статьи. Но! Тут есть разные подходы. Мне бы не хотелось ограничиться с Вами только парой-тройкой реплик. Было бы неплохо обсудить и содержательную сторону вопроса. Я вижу определённую последовательность и логику в Ваших действиях. Однако, возможна и другая логика изложения. Я хотел сделать данную статью в виде обзора с введением, объяснениями и теоремами. Отсюда и объём. Кстати, о приложениях всё-равно написать придётся. Структура статьи также имеет значение, так как позволяет сразу понять, что к чему относится и перейти на нужный пункт. В результате Ваших правок пропала, на мой взгляд, важнейшая часть статьи о свойствах как непрерывных функций, так и разрывных функций. Сейчас это — простое перечисление свойств: объяснения, связанные с свойствами области определения отсутствуют. И так у Вас, кстати, везде! Между тем, главный вопрос: что почерпнёт вдумчивый читатель, прочитав статью? Я согласен, что мой стиль (если можно так сказать) ближе к Викиучебнику и мне придётся его написать, собрав там, в том числе, и теоремы с доказательствами. Но мне кажется, что в Википедии должны присутствовать и объяснения. --OZH 07:13, 15 февраля 2010 (UTC)

Я думаю про человека, которому надо быстро найти нужную информацию. Объяснения (как и доказательства) не нужны в энщиклопедии --- они допустимы как исключения, и по-моему это не тот случай. --Тоша 23:53, 16 февраля 2010 (UTC)

А какую информацию (помимо, собственно, определения) может искать читатель? Из энциклопедической статьи читателю должно быть ясно, как рассматриваемое понятие соотносится с другими, как формулируются важнейшие утверждения, связанные с данным понятием, и каковы основные приложения. Я согласен, что доказательства лучше всего смотрелись бы в Викиучебнике, хотя некоторые доказательства играют роль развёрнутых иллюстративных примеров и, поэтому, особенно значимы. Но объяснения и есть тот важный энциклопедический материал, за которым читатель приходит в энциклопедию. --OZH 10:39, 18 февраля 2010 (UTC)

А, вообще, хотелось бы знать, как, в таком случае, описывать связь непрерывности с компактностью, связностью, а так же и с полнотой по Дедекинду? --OZH 11:09, 18 февраля 2010 (UTC)

Я думаю всё это можно описать как свойства. --Тоша 18:18, 18 февраля 2010 (UTC)

То есть, Вы хотите сказать, что из Википедии нельзя будет понять взаимоотношения между различными понятиями. --OZH 19:52, 18 февраля 2010 (UTC)

Увы, вопрос остался незамеченным. :( --OZH 08:03, 21 февраля 2010 (UTC)

В результате Вашей правки, следующее предложение в преамбуле повисает в воздухе: «По определению, функция непрерывна в каждой изолированной точке области определения.» — довольно трудно понять, почему возникает такое разделение. --OZH 11:36, 18 февраля 2010 (UTC)

В преамбуле этому предложению не место. --Тоша 18:18, 18 февраля 2010 (UTC)

Зато теперь преамбула стала совсем маленькой и какой-то сильно общей. Зачем нужна, по-вашему, преамбула? --OZH 19:52, 18 февраля 2010 (UTC)

Мне кажется так: преамбула должна как-то объяснять суть дела так чтобы было понятно неспециалисту (в данном случае нематематику).--Тоша 18:50, 19 февраля 2010 (UTC)

Здесь мы с Вами понимаем дело одинаковым образом. Однако в Вашем варианте преамбула оказалась сверх короткой, поэтому я, например, за то, чтобы в преамбуле было бы и точное определение (словами, без формул), чтобы у любого читателя была возможность узнать, что это такое. (По идее, преамбула должна содержать сжатое описание предмета статьи.) К тому же, я написал специальный раздел для введения в курс дела, который Вы удалили. Я думаю, минималистский подход, как раз, работает против Вашего посыла о «понятности неспециалисту»: вместо глубокого обзора, мы имеем расширенную словарную статью, и многое осталось за кадром. --OZH 08:03, 21 февраля 2010 (UTC)

По-моему неформальное определение присутствует, а формальное пусть будет ниже (с формулами или без, как удобней).

Ещё, коротко не значит плохо :) --Тоша 05:11, 22 февраля 2010 (UTC)

Мы ещё вернёмся к этому вопросу. (Случай случаю рознь.) Боюсь, что раздел «Свойства» мне придётся, всё-таки, переделать ближе к тому, что было изначально: это не сильно удлинит статью. --OZH 13:27, 22 февраля 2010 (UTC)

---

• Проблема на самом деле в том, что из-за отсутствия у Фонда чёткого определения Википедии (см. Миссия Фонда Викимедиа заключается в расширении возможностей и привлечении людей со всего мира к сбору и развитию образовательных материалов (выдержанных в нейтральной точке зрения), Википедия (Wikipedia) — это проект, целью которого является создание свободной энциклопедии на всех языках мир) каждый из участников тянет одеяло адреса на себя толкует википедию так, как ему выгодно (игра в свою пользу). В результате Википедия разрывается между справочником, словарём или учебником. Как такового определения понятия Энциклопедия в отношении Википедии на сегодняшний день НЕ СУЩЕСТВУЕТ, любое самовольное толкование - орисс. Fractaler 10:25, 18 февраля 2010 (UTC)

Fractaler, не надо обобщать, мой опыт такой уные люди смогут договарится, а дураки нет :)

Ещё Вы пишете, "каждый толкует википедию так, как ему выгодно", в написании конкретно в этой статьи ни у меня ни у OZH нет "своей" выгоды, есть "выгода" только для всех... --Тоша 18:50, 19 февраля 2010 (UTC)

Должна быть выгода для читателя. А тут мы можем немного расходится в том, как подавать один и тот же материал. :( --OZH 13:27, 22 февраля 2010 (UTC)

Связанные определения

Предлагаю в раздел «Связанные определения» добавить гладкую функцию с кратким определением и отсылкой в основную статью. -- Sergey kudryavtsev 12:23, 22 марта 2010 (UTC)

• Так мною изначально и планировалось. Но участник:Tosha существенно сократил объём статьи, после чего я несколько обескуражен. Если бы нам вместе удалось бы убедить участника:Tosha в полезности дополнительных сведений, то статью удастся расширить. Только, говорить надо будет о понятии дифференцируемости: читатель должен усвоить взаимосвязь основных понятий анализа. --OZH 07:39, 23 марта 2010 (UTC)

• А дайте, пожалуйста, ссылку на вашу дискуссию с Тошей, где это сокращение обсуждалось. -- Sergey kudryavtsev 09:43, 23 марта 2010 (UTC)

Ещё одно важное связанное определение — кусочно-непрерывная функция (быть может его надо поместить в «Вариации и обобщения»). -- Sergey kudryavtsev 09:43, 23 марта 2010 (UTC)

Примеры

Тригонометрические функции

Непрерывность всегда рассматривается в точках области определения функции. Например, тангенс определён всюду на вещественной оси, кроме точек вида ${\frac {\pi }{2}}+\pi k$, где $k$ — любое целое число. Нельзя говорить о том, что функция терпит разрыв в точке, где данная функция не определена. Поэтому, тангенс является непрерывным всюду на своей области определения. --OZH 08:20, 23 марта 2010 (UTC)

Убедили. Эта несколько лукавая приписка «на своей области определения» делает фразу правильной. А нельзя ли утверждение «Непрерывность всегда рассматривается только в точках области определения функции» вынести в преамбулу? Лично мне оно не кажется очевидным. И не подскажете как у тангенса называются точки $\pm {\frac {\pi }{2}},\;\pm \pi ,\;\pm {\frac {3\pi }{2}},\;\dots$? Согласитесь же, они очень похожи на точки разрыва первого рода (есть правый и левый пределы), и мне кажется (хотя и не поручусь), что в школе так их тоже называли точками разрыва. -- Sergey kudryavtsev 09:29, 23 марта 2010 (UTC)

Если называли, то это жаль. Для того, чтобы точка была точкой разрыва, нужно, чтобы предел функции не совпадал бы со значением функции в данной точке. Но для этого значение функции должно существовать. По этой причине, функция $f(x)=1/x$ является функцией, непрерывной на своей области определения ${\mathbb {R} }\setminus \{0\}$. аналогичная ситуация и с дифференцируемостью: невозможно говорить о дифференцируемости функции в изолированной точке области определения функции. --OZH 11:18, 23 марта 2010 (UTC)

Сохранение знака непрерывной функции

Удалил свойство:

• Непрерывная функция сохраняет свой знак в некоторой окрестности точки непрерывности.

Это не так! пример: $f(x)=x\sin {\frac {1}{x}}$ Если эту функцию в нуле доопределить нулем, то эта функция будет непрерывной в нуле, однако ни в одной окрестности нуля эта функция не сохраняет знак.  — Эта реплика добавлена участником Shamin Roman (о · в) 01:58, 29 декабря 2010

• Там условие, что функция в данной точке отлична от нуля, существенно. Кстати, в качестве контрпримера можно было привести функцию попроще, не обязательно осциллирующую, например, $f(x)=x^{3}\,$ в точке 0 годится. Вообще, весь раздел "Свойства" плохо написан, и с ошибками, я его переделал (надеюсь -- хорошо). Roundabout 16:36, 7 января 2011 (UTC)

  Если сказать, что в этой точке функция отлична от нуля, то свойство будет верно. infovarius 06:12, 29 декабря 2010 (UTC)

  • Не надо ничего говорить. ;-/ Если функция имеет знак, то она отлична от нуля. Если функция равна нулю, то она не имеет знака. ;-) --OZH 08:13, 30 декабря 2010 (UTC)

  Если судить по функции знака, то он бывает -1, 0 и 1. infovarius 08:47, 30 декабря 2010 (UTC)

  • Вот буквалист! У нас есть только два знака: «$>0$» и «$<0$». Функция знака — это индикатор. Функция в нуле знака не имеет. (Как и нулевой вектор, который не имеет направления.) Трудно сохранить то, чего нет. --OZH 09:04, 30 декабря 2010 (UTC)

О чем Вы спорите? Я как-то потерял суть... Shamin Roman 13:37, 30 декабря 2010 (UTC)

• Проще, конечно, сформулировать так: если функция принимает какое-то отличное от нуля значение, то существует окрестность, значения функции в которой имеют тот же знак, что и в самой точке. Но это длинно. ;-/ --OZH 19:54, 30 декабря 2010 (UTC)

Энциклопедичность

Насколько энциклопедичным является такое конспективное изложение? Не нужно ли добавить немного связующего и объясняющего текста? Или необходимо стремиться к сухой сводке основных фактов, а для развёрнутых объяснений создавать соответствующий Викиучебник? --OZH 07:59, 22 февраля 2011 (UTC)

Замените 1 на 0

Мною была сделана правка [1]. Она была откачена [2]. Объясняю. Функция sin(x)/x при х=0 равна 1. Если ее задать равной 0 при x=0, то это будет точка устранимого разрыва. Так я и заменил 1 на 0 в задании функции f(x). Тем более это правильно, что ниже написано ...0=f(0). Верните назад мою правку. Ler 19:15, 26 февраля 2012 (UTC)

• Признаю свою ошибку. Ваша правка восстановлена. — Cthuttdbx 11:41, 27 февраля 2012 (UTC)

Точка в определении

А почему в комментарии к определению указано, что точка $x_{0}$ предельная? Разве она не должна принадлежать множеству $D$ с некоторой окрестностью? В некоторой литературе указано что должна. В частности: Никольский С.М. "Курс математического анализа. Том 1", § 4.2.K-payl 15:38, 23 января 2013 (UTC)

• Ну, и? Если принадлежит, то является предельной, не так ли? --OZH 18:43, 23 января 2013 (UTC)

• А в некоторой литературе (например, в упомянутом в статье Зориче) явно сказано: «Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай». И этот случай в мат. анализе особого интереса не представляет, поэтому некоторые учебники его и не рассматривают. В общем же случае множество $D$ рассматривается как топологическое простраство (например, с индуцированной топологией) и является открытым по определению (а значит, является открытой окрестностью точки $x_{0}$). GS 20:01, 23 января 2013 (UTC)

• Забавно, в определении непрерывности фигурирует f(x0). Значит, априори подразумевается, что функция f(x) в этой точке существует. Т.е. функция непрерывна, если в любой точке СВОЕЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ она совпадает со своим пределом в этой точке. Теперь посмотрим на функцию 1/x: в любой точке своей области определения она совпадает со своим пределом. Значит, это непрерывная функция...Clothclub 17:33, 2 мая 2016 (UTC)
  • Всё правильно 1/x непрерывна всюду, где определена, но не непрерывна на всей числовой оси. Alexei Kopylov 17:50, 2 мая 2016 (UTC)
    • Да, теперь я вижу, что вы правы. Спасибо! Я бы сказал, что функция непрерывна в некоторой области, если она определена в каждой точке этой области и в каждой точке этой области равна своему пределу в этой точке. Но то определение, которое дано, тоже правильное, хотя, на мой взгляд, и менее понятное.Clothclub 01:09, 3 мая 2016 (UTC)