Обсуждение:Метод Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса - это более общее понятие, чем метод решения СЛАУ. Например, существуют метод Гаусса вычисления определителя, метод Гаусса вычисления ранга матрицы. В общем случае метод Гаусса таков: 1) Выделить тип матрицы, для которой задача решается достаточно просто 2) Выделить тип преобразований, которые либо не меняют решения задачи, либо меняют его контролируемым образом 3) Произвольная матрица выделенными преобразованиями приводится к выделенному виду, тем самым задача сводится к более простой. — Эта реплика добавлена участником Goryachev (о • в)

А разве когда говорят о методе Гаусса в 1) бывает что-то кроме ступенчатого вида матрицы, а в 2) - что-то кроме элементарных преобразований строк (или столбцов, как непопулярный вариант)? Я думаю нет, поэтому давайте сделаем чуть попроще чем вы предлагаете - предподнесём метод Гаусса как в первую очередь метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. А дальше приведём приложения: ступенчатая форма может быть использована для решения СЛАУ (процедурой обратной подстановки), для нахождения детерминанта (если дополнительно считать число перестановок строк), ранга (= число ненулевых строк), LU-разложения (элементы матрицы L - это числа, на которые домножаются строки перед добавлением к другой строке, или что-то подобное). -- X7q 18:33, 31 декабря 2009 (UTC)

1) Ну во-первых бывает(для вычисления определителя - треугольная матрица). Во-вторых, метод Гаусса - это выше изложенные общие принципы, конкретная реализация зависит от задачи. 2) Метод Гаусса - это элементарные преобразования? Смеетесь? Нет, давайте не будем его преподносить, как то, чем он не является. Метод приведения матрицы к ступенчатому виду - это теорема об основном процессе, только теоретическая база для одного пункта метода Гаусса, точнее, реализаций метода Гаусса для конкретных задач. И кстати, допустимые преобразования различны для разных задач. Goryachev 21:34, 1 января 2010 (UTC)

Треугольная матрица — частный вид ступенчатой. -- X7q 21:51, 1 января 2010 (UTC)

Скорее, ступенчатая - частный вид треугольной, т.к. множество ступенчатых матриц - есть подмножество треугольных, но не наоборот.

Про «выше изложенные общие принципы» — вы можете привести авторитетный источник в котором были бы изложены эти общие принципы? Википедия — не место для оригинальных исследований, и если эти принципы нигде больше не упоминаются, то в ВП им тоже не место. -- X7q 21:51, 1 января 2010 (UTC)

Конечно могу. Все тот же учебник по линейной алгебре Г. Д. Ким. Все, что я говорю, я прочитал в учебниках, и от себя ничего не добавляю. Goryachev 14:47, 2 января 2010 (UTC)

Мне кажется, что статью либо нужно переименовать в "Метод Гаусса(СЛАУ)", либо переписать, чтобы в ней содержались эти общие принципы и основные примеры(решение СЛАУ, вычисление определителя, вычисление ранга). — Эта реплика добавлена участником Goryachev (о • в)

А еще примеры есть? -- X7q 18:33, 31 декабря 2009 (UTC)

Я не сталкивался с другими применениями. Goryachev 21:34, 1 января 2010 (UTC)

Про определитель и ранг можно просто сделать по одному подразделу. Про определитель сказать, на что он умножается после каждого элементарного преобразования (вследствие свойств определителей). Про ранг - сказать/доказать, что row space матрицы не меняется от элементарных преобразования строк, а размерность row space матрицы в ступенчатой форме (почти) очевидно равна числу ненулевых строк. -- X7q 18:33, 31 декабря 2009 (UTC)

Вычисления определителя, ранга, решение СЛАУ - равноправные применения метода Гаусса, и нельзя выделять один над другими(как это в статье). При вычислении ранга допустимы не только преобразования строк, но и столбцов. Вообще, при вычислении ранга - наибольшая свобода с преобразованиями. Что за row space? И не размерность матрицы, а ранг :) Goryachev 21:34, 1 января 2010 (UTC)

Про равноправные не согласен. Всё же, он наиболее известен именно как метод решения СЛАУ. -- X7q 21:51, 1 января 2010 (UTC)

Ну это он Вам наиболее известен, как метод решения СЛАУ. Goryachev 14:47, 2 января 2010 (UTC)

Row space - пространство всех линейных комбинаций строк матрицы. Ранг матрицы (а точнее row rank, но он равен column rank ввиду какой-то теоремы, поэтому просто ранг) = размерность row space. -- X7q 21:51, 1 января 2010 (UTC)

Понятно. Ввиду теоремы о базисном миноре. Goryachev 14:47, 2 января 2010 (UTC)

Пожалуйста проверьте в секции "Описание метода" индексы переменных. Мне кажется, что там должен быть вид $a_{1j}$ и $x_{j}$, а не $a_{1j_{1}}$ и $x_{j_{1}}$ LeX 18:04, 3 января 2010 (UTC)

Изначально автор, видимо, предполагал все-таки трапецевидную форму основной матрицы, а для этого необходима перестановка столбцов, т.е. перенумерация переменных. Так что там все правильно. Вообще статья написана очень скверно, с ошибками. Ее бы переписать. Goryachev 10:57, 4 января 2010 (UTC)

Пример

ошибка у вас в статье а примере.. пересчитайте пожалуйста — Эта реплика добавлена с IP 89.23.18.112 (о)

исходя из примера, написанного в статье 2Х*1 + 3Х = о. Перепишите 78.128.195.83 22:02, 9 ноября 2010 (UTC)

Всё правильно в примере. Матлабом даже пересчитал. Единственное замечание - по-моему выбрана нестандартная последовательность элементарных операций. Обычно делается так: к строчке, в которой обнуляется коэффициент при старшем члене, прибавляется строчка, с помощью которой мы обнуляем, умноженная на что-то там. -- X7q 22:38, 9 ноября 2010 (UTC)

Исправил. -- X7q 22:53, 9 ноября 2010 (UTC)

спасибо, все сошлось 78.128.195.83 20:14, 13 ноября 2010 (UTC)

Сообщение об ошибке

Перенесено со страницы ВП:Сообщения об ошибках#Метод Гаусса.

Рисунок изображающий алгоритм решения не совсем корректен. В конце, вместо строки x[i] -= a[i][c+1] * x[c+1] / a[i][i], должен быть цикл по c (c=i; c<n-1; c=c+1) и уже внутри цикла - вышеприведенная строка. К сожалению я не обладаю необходимой квалификацией, чтобы исправить данную ошибку самостоятельно. Прошу исправить более опытных товарищей.

Автор сообщения: YaYauhen 06:45, 22 октября 2013 (UTC)

К обсуждению это надо перерисовывать рисунок, так что суть лучше будет на странице обсуждения. MPI3 11:25, 23 октября 2013 (UTC)

Может, тогда стоит вообще убрать картинку, пока её не исправят? Чтобы не смущать никого. 62.76.92.6 11:30, 21 мая 2014 (UTC)

Применение и модификации

Пожалуйста, добавьте более подробную информацию по метод Гаусса оптимального исключения и методу Гаусса с выбором главного элемента. Например, опираясь на данный источник: http://group22x.narod.ru/calculus1/lab3.pdf