Обсуждение:Мера множества

По-моему, кроме строгого математического определения меры хорошо было бы дать, возможно, менее точное, но лучше понятное неспециалисту объяснение термина. Я плохо читаю сложные формулы, но, если я правильно понял, к определению конечно-аддитивной меры можно было бы добавить что-нибудь типа "Иначе говоря, функция μ является мерой функции F, если, во-первых, $\mu (\varnothing )=0$, и во-вторых, μ, взятое от суммы нескольких элементов F, равно сумме μ от каждого из этих элементов." Arif-ru 13:08, 24 октября 2009 (UTC)

"Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств." - действительно ли это так? Насколько я знаю, невозможно продолжить меру Лебега на множество всех подмножеств прямой с сохранением её инвариантности относительно сдвигов. А как-нибудь - почти наверняка можно. Или всё-таки нет? AlexBystrikov 16:41, 10 февраля 2010 (UTC)

Согласен, что скорее всего, как-нибудь можно, через аксиому выбора. Инвариантно относительно сдвигов нельзя -- будет проблема с множеством представителей $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$, выбранных на [0,1]: его сдвиги на рациональные числа в интервале [-1,1] дизъюнктны, а их объединение содержит отрезок [0,1]. Поэтому мера не может быть ни положительной (ибо таких образов уместилось счётное число в [-1,2]), ни нулевой (потому что [0,1] так разбивается).

Конечно-аддитивная меры, начиная с размерности 3, нет из-за парадокса Банаха-Тарского (проистекающего из-за неаменабельности группы O(n) при n>3). --Burivykh 23:49, 9 мая 2010 (UTC)

Необходимо статью доработать

Позволю себе ряд взаимосвязанных "замечаний" в статье.

1 Название "конечно-аддитивная мера" несмотря на допустимость не совсем корректное ибо меры, определенные по указанным в статье аксиомам вполне могут быть и счетно-аддитивными. Последние являются подклассом мер. Поэтому думаю, что раздел "Конечно-аддитивная мера" нужно убрать и в определении меры указать соответствующую аксиоматику

2 Аксиоматику "конечно-аддитивной меры" можно и нужно существенно упростить. А именно мерой (аддитивной) называют неотрицательную функцию (принимающую конечные значения), обладающую свойством аддитивности, а именно: мера суммы (объединения) двух не пересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств. Что касается первой аксиомы, указанной в статье (мера пустого множества равна нулю), то это одно из некоторых базовых следствий определения, которые в статье также должны быть приведены. Конкретно данное следствие следует из того, что, во-первых, пересечение пустого множества с пустым множествам равно пустому множеству (то есть два пустых множества можно считать не пересекающимися. Во-вторых, объединение пустого с пустым множеством, то же есть пустое множество. Следовательно меру пустого множества мы можем считать равной мере суммы двух пустых не пересекающихся множеств. Последнее по определению равно сумме мер пустых множеств, то есть получаем, что мера пустого множества равна удвоенной мере пустого множества, из чего и следует равенство нулю меры пустого множества

3 Необходимо указать базовые следствия (свойства) меры, а именно:

-мера пустого множества равна нулю

-мера суммы любого конечного количества непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств

-мера разности вложенных множеств равна разности мер этих множеств

-мера объединения произвольных множеств равна сумме мер множеств минус мера пересечения этих множеств

-мера подмножества не больше меры самого множества

4 Одно из свойств счетно-аддитивной меры - непрерывность - если взять бесконечную последовательность вложенных множеств, то мера предела таких множеств (по сути пересечения их) равна пределу мер таких множеств.MyWikiNik 18:12, 6 января 2012 (UTC)

Предлагаю следующим образом начать статью (естественно добавив символическую запись там где это нужно и желательно)

Мера - числовая (неотрицательная) характеристика множества, обобщающая понятие объёма для подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$(или площади или длины, если $n=2$ или $1$ соответственно) на более общий случай абстрактных множеств (более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью в $\mathbb {R} ^{n}$). Мера в общем случае определяется как неотрицательная числовая функция на некотором семействе множеств, обладающая свойством (конечной) аддитивности: мера суммы (объединения) двух непересекающихся множеств равна сумма мер этих множеств. Из этого определения непосредственно (по индукции) следует, что мера суммы любого (конечного) числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств. В общем случае, однако, из этого не следует, что аналогичное свойство выполнено для счетного семейства непересекающихся множеств. Мера, для которой предполагается выполнение последнего условия, называется счетно-аддитивной.

Из аддитивности меры следуют следующие свойства:

мера пустого множества равна нулю

мера подмножества не больше меры самого множества

мера разности вложенных множеств равна разности мер этих множеств

мера суммы двух произвольных множеств равна сумме мер этих множеств минус мера их пересечения

Счетно-аддитивная мера обладает наряду с этими свойствами также свойствами непрерывности и счетной монотонности. Непрерывность здесь понимается в следующем смысле: мера предела бесконечной последовательности вложенных множеств равна пределу последовательности мер этих множеств.

Далее нужен раздел, посвященный построению меры с полукольца до минимального кольца и лебегово продолжение или иные продолжения меры (или ссылки на соответствующие разделы википедии)MyWikiNik 16:11, 7 января 2012 (UTC)

Правки AlexBystrikovа

Я откатил последние правки AlexBystrikovа. Причины:

1. Преаамбула стала слишком технической (слова "аддитивная (или счётно-аддитивная) функция" могут отпугнуть многих)

2. Определение стало менее понятным. --Тоша 01:56, 8 апреля 2010 (UTC)

Антон, тот, кто возьмётся читать статью "Мера множества" никаким образом не избежит знакомства с понятием аддитивности. Если вы считаете, что оно может отпугнуть в преамбуле, почему вы не боитесь, что оно не отпугнёт дальше, внутри статьи?

Далее. Употребление аддитивности в определении "Мера - аддитивная функция множеств" если и придаёт ему техничности, то это только плюс. То, что определение получается СЛИШКОМ техническим - неправда. Какая такая СВЕРХ-техничность может быть в определении из 4 слов, из которых "техничность" обеспечивается только одним из них? Для сравнения возьмите свою преамбулу, которую смело можно отнести к монстрам русской грамматики: "Мера — ... название ... типов обобщений понятий ... длины, площади и n-мерного объёма ...". Если такое определение меры кому-то и покажется более понятным, то, боюсь, что только вам одному.

Далее. Определение "Мера - аддитивная функция множеств" обладает неоспоримым преимуществом перед любыми другими в том, что оно - наиболее чёткое, сжатое и ясное (по модулю ясности понятия аддитивности). Вот ваше определение меры : "Функция называется мерой, если она удовлетворяет двум аксиомам, перечисленным ниже, набранных бессловесно одними формулами в две строки каждая" - уж действительно, отпугнёт кого угодно (чтобы убедиться, прочтите, например, первый пост в обсуждении статьи).

Помимо всего прочего, в вашей версии статьи присутствуют два альтернативных и НЕэквивалентных определения меры.

Чтобы всё-таки прийти к компромиссу, предлагаю вам: 1) принять мой вариант статьи за основу, 2) внести свои изменения, исправляющие недостатки (я полагаю, их, на самом деле, не так много), 3) если для определения вам необходимо писать формулы, давайте параллельно им словесную расшифровку (я считаю, что хороший стиль написания - когда все формулы можно опустить, и восстановить их по одним словам, так что читать можно только текст, без потери смысла)--AlexBystrikov 16:26, 11 апреля 2010 (UTC)

Нет, не так. Я считаю, что преамбула должна быть доступна как можно более широкому кругу читателей. (Предствьте себе человека вдруг который хочет узнать очень поверхностно что такое мера --- скажем для кроворда...) --Тоша 04:18, 17 апреля 2010 (UTC)

Во-первых, для кроссворда есть прекрасное определение меры: "Аддитивная функция множеств". Во-вторых, из вашей преамбулы так и не узнаешь, что такое мера, даже поверхностно. В-третьих, о доступности ваших определений для массового читателя смотри первый пост в обсуждении статьи (пользователя Arif-ru). Ему ваши определения непонятны. В-четвёртых, если вы так уж переживаете за кроссворды, для кроссворда достаточно иметь словарь, а не энциклопедию. В-пятых, если вам не нравится только преамбула, ну и исправьте только преамбулу. Зачем отменять всё? --AlexBystrikov 06:07, 17 апреля 2010 (UTC)

Ой. Alex, боюсь, в данной ситуации я сильно на стороне Тоши. Начинать статью определением "счётно-аддитивная" -- значит не писать её ни для кого. Ибо человек, способный понять это с ходу, уже знает всё, что Вы хотите ему сказать.

Мне вспоминается одна из моих любимых цитат из Азимова («Лунная пыль»):

Еще несколько дней назад любой интервьюер, если бы ему вообще удалось уговорить Лоусона изложить перед камерой принцип инфракрасного поиска, потонул бы в потоке высокоученых фраз. Том выдал бы в пулеметном темпе лекцию, изобилующую терминами вроде «квантовой отдачи», «излучения черных тел» и «спектральной чувствительности», убедив аудиторию, что речь идет о крайне сложном предмете (и это совершенно верно), которого неспециалисту не понять (что вовсе не отвечает истине).

Теперь же молодой ученый, несмотря на колики в желудке, обстоятельно и даже терпеливо ответил на вопросы Майка Грехема, подбирая слова, понятные большинству. Для всех представителей астрономической науки, которым в разное время довелось испытать на себе когти Тома, это было подлинным откровением. Сидя у себя на «Лагранже-2», профессор Котельников, когда кончилась передача, одной фразой выразил чувства своих коллег:

— Честное слово, я его не узнаю!

Так вот: гораздо правильнее начать статью написанной понятным языком преамбулой, что-нибудь вроде такого:

Мера — способ сопоставления множеству неотрицательного числа (называемого мерой этого множества), удовлетворяющий определённым аксиомам; так, мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$, обобщающая понятие объёма (или площади или длины, если n=2 или 1 соответственно) на случай множеств, более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.

А дальше уже пустить параграф «Формальное определение»…

--Burivykh 23:32, 9 мая 2010 (UTC)

Как мне кажется выражение "Мера - способ ..." некорректно. Мера - это все таки не способ никакой, а неотрицательная числовая характеристика множества, обобщающая понятия объема, площади и длины (для подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$)MyWikiNik 08:19, 7 января 2012 (UTC)

Хорошо. Преамбулу я уже согласился изменить. Но кроме преамбулы там идёт ещё целая статья. Зачем же удалять всё остальное? --AlexBystrikov 12:20, 26 мая 2010 (UTC)

Вечером попробую посмотреть аккуратно. --Burivykh 16:10, 26 мая 2010 (UTC)

В первом приближении посмотрел. Честно говоря, похоже, что я на днях напишу третью версию, попробовав включить то, что Вы предлагаете, но реорганизовать его. --Burivykh 18:35, 30 мая 2010 (UTC)

Правка списка литературы

Господа! Я, <имя и фамилия удалены>, аспирант кафедры теории функций и функционального анализа мехмата МГУ, в третий, и, ей Богу, в последний, раз вношу изменения в список литературы. Если какой-то шибко бдительный товарищ опять посчитает меня спамером и откатит добавление внесённых мной источников, то пусть он убьёт себя об стену пишет мне на емейл ivremizov@yandex.ru, и я ему по почте доходчиво обосную тот факт, что указываемые мной источники не только имеют прямое отношение к теме статьи, но и являются одними из лучших (по многим параметрам) в мире текстов по теории меры, несмотря на то, что написаны они на русском языке. Если кто-то желает помочь Википедии, пожалуйста, проследите, чтобы указанные книги были в списке литературы:

• Богачев В.И., Основы теории меры, 2-е изд., в двух томах, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2006.
• В.И. Богачев, О.Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ. Издательства: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.

194.88.210.254 07:28, 15 января 2011 (UTC)Gonobb 194.88.210.254 07:30, 15 января 2011 (UTC)Gonobb

То, что они являются лучшими - это ваше субъективное мнение. Писать о нем в Википедии рядом с названием книги ([1]) неуместно - Википедия придерживается нейтральной точки зрения. -- X7q 07:38, 15 января 2011 (UTC)

Учитывая мою специализацию и место работы (как раз сейчас я принимаю экзамены по теории меры у студентов мехмата МГУ), кому как не мне судить о том, какой учебник лучше. Полагаю, большинству читателей Википедии будет польза от того, что я похвалю эту книгу. Тем не менее, возражение принимается. Ок, комментарий о качестве книги можно опустить. Если не согласны с комментарием --- удалите комментарий. Зачем всю ссылку на книгу-то удалять? Я старался, трудился, копипастил названия книг, а Вы рррраз и удалили всё к чертям свинячьим. Вы хоть одну из этих книг в руках держали? Зачем удалять ссылки на полезные книги?

Кстати, были также удалены ссылки ещё на две полезные книги по теме статьи. Восстанавливаю их:

• Богачев В.И., Гауссовские меры, Наука, Москва, 1997.
• Богачев В.И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2008.

Если будете удалять эти ссылки, то имейте в виду, что занимаетесь в этот момент вандализмом на страницах Википедии (как и при предыдущих откатах, если это Ващих рук дело, конечно).

194.88.210.254 14:00, 15 января 2011 (UTC)Gonobb 194.88.210.254 14:17, 15 января 2011 (UTC)Gonobb Gonobb 14:22, 15 января 2011 (UTC)Gonobb Gonobb 15:53, 15 января 2011 (UTC)Gonobb

Почему все убрали:

Уважаемый Tosha. Спасибо конечно, что оставили хотя бы свойства меры из моих правок. Но хотелось бы сказать, что аксиоматика конечно-аддитивной меры, которую вы оставили - особенно вторая звучит несколько сложновато - вам не кажется. В аксиоматике меры есть одно главное свойство - аддитивность-то есть мера объединения непересекающихся множеств равна сумме их мер. А в вашей аксиоме 2 аддитивностью не пахнет. Ваша аксиома -это следствие.

Что касается определения, то мера - это все таки не "способ", а числовая характеристика множества, как я и написал. Дело конечно, ваше, но все таки надо подумать над более оптимальными формулировками. СпасибоMyWikiNik 01:05, 1 февраля 2012 (UTC)

Кроме того, не кажется ли вам, что получается все не совсем логично. Во-первых, аксиома вторая конечно-аддитивной меры и она же для счетно-аддитивной меры сформулированы неодинаково. Во-вторых, как я уже где-то писал в обсуждении - при таком определении конечно-аддитивной меры, она же может быть и счетно-аддитивной. В-третьих, и это не менее важно, вы оставили свойства меры, а в них есть некоторые свойства, которые у вас являются аксиомами! Нелогично. Конечно, вы можете их убрать из свойств. Но думаю, правильней переформулировать аксиомы.MyWikiNik 01:36, 1 февраля 2012 (UTC)

и кстати, там стоит требование указать источник, из которого взяты эти аксиомы для конечно-аддитивной меры. Тоже очень хотелось бы посмотреть кто из авторов именно так формулирует теорию меры. СпасибоMyWikiNik 01:38, 1 февраля 2012 (UTC)

В Вашей редакции стало сложнее искать нужную информацию. Поэтому я вернул старую версию и добавил в неё то, что мне показалось полезным из Ваших правок. Очевидно не всё увидел и сделал всё наспех. Попробуйте вернуть, но не ломайте структуру статьи. Кроме того преамбула (которая исчезла в Вашей версии) должна быть понятна всем-всем-всем, мне кажется «числовая характеристика» звучит более отпугивающе чем «способ», но если считаете нужным исправьте. По поводу определения --- лучше всего пользоваться наиболее стандартным, к сожалению я не знаю какое из них более стандартное (я не против --- меняйте). --Тоша 03:22, 1 февраля 2012 (UTC)

По поводу структуры могу согласиться. Но вы поменяли не только структуру и даже не столько. Что касается того, что "способ" лучше "числовой характеристики" - это как посмотреть конечно. Способ это способ что либо сделать, может процедура, может метод и прочее. А мера это не способ. Это мера. Я предложил числовую характеристику. Если это не годится, можно что-то другое предложить, надо подумать. Но способ - это мне кажется не то. Мера - это некоторое неотрицательное число, которое ставится в соответствие данному множеству, является "параметром" "свойством" "характеристикой" этого множества. Не знаю какие слова подобрать. Из перечисленных только характеристика лучше подходит.

Что касается упорного структурирования статьи на конечно-аддитивную и счетно-аддитивную - это не совсем корректно. Есть общее понятие меры. В этом общем понятии есть общие требования (аксиомы). Это неотрицательность и аддитивность. Просто из аддитивности вообще говоря не следует счетная аддитивность, поэтому выделяют класс (важный, конечно) мер, которые удовлетворяют также условию счетной аддитивности. В текущем же изложении выглядит так как есть совершенно два разных понятия. Поэтому надо подумать как правильно это изложить62.231.189.33 04:15, 1 февраля 2012 (UTC)

Скорректировал определение и свойства без существенного изменения структуры с учетом сказанного выше. Если есть ошибки - правьте. MyWikiNik 07:34, 1 февраля 2012 (UTC)