Нормальное замыкание (теория групп)

Нормальное замыкание подмножества S группы G — это подгруппа G, порождённая S^G, то есть замыкание S^G относительно групповой операции, где S^G — это класс сопряженности элементов S:

$S^{G}=\{\,g{\cdot }s{\cdot }g^{-1}\mid g\in G,\quad s\in S\,\}.$

Нормальное замыкание можно определить эквивалентным способом как пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих данное множество. Таким образом, любая нормальная подгруппа является нормальным замыканием некоторого множества.

Свойства

• Нормальное замыкание любого подмножества — всегда нормальная подгруппа G.
  • Более того, это наименьшая (по вложению) нормальная подгруппа, содержащая данное множество.
• Любая простая группа является нормальным замыканием своего (нетождественного) элемента.
• Любая группа узла является нормальным замыканием некоторого своего элемента.

Примечания

• Derek F. Holt; Bettina Eick, Eamonn A. O'Brien. Handbook of Computational Group Theory (неопр.). — CRC Press, 2005. — С. 73. — ISBN 1-58488-372-3.