Неравенство Фридрихса

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом. Оно указывает границу для L^p-нормы функции, используя L^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rⁿ с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ (то есть $u\in W^{k,p}(\Omega )$ и tr u = 0). Тогда

$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},$

где

• $\|-\|_{L^{p}(\Omega )}$ обозначает L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультииндекс с нормой |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — смешанная частная производная

$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$

Близким результатом является неравенство Пуанкаре.