Неравенство Гаека — Реньи в теории вероятностей названо по имени Ярослава Гаека и Альфреда Реньи.
Если случайные величины являются независимыми, , а — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого
и для всех выполнено
Введём следующие обозначения:
- ,
Найдем математическое ожидание и преобразуем его к удобному виду:
Рассмотрим следующие случайные события для некоторого
События являются несовместными. Значит,
Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:
Докажем его:
Следствие (неравенство Колмогорова)[править | править код]
Если случайные величины независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то
Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если
Это неравенство можно записать в виде:
- Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс Теории Вероятностей. — 2003. — 322 с. (Глава 6 § 3 раздел 2)