Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение[править | править код]

Пусть $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ — моноидальные категории. Моноидальный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}$ состоит из функтора $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ , естественного преобразования

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

и морфизма

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

,

называемых структурными морфизмами, таких что для любых $A$ , $B$ , $C$ в ${\mathcal {C}}$ диаграммы

и

коммутативны в категории ${\mathcal {D}}$ . Здесь используются стандартные обозначения $\alpha ,\rho ,\lambda$ для моноидальной структуры категорий ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ .

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы $\phi _{A,B},\phi$ обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример[править | править код]

Забывающий функтор $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением $A\times B\to A\otimes B\to$ ; отображение $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$ переводит синглетон * в 1.