Модальная алгебра

Модальная алгебра — структура $\langle A,\land ,\lor ,-,0,1,\Box \rangle$, где:

• $\langle A,\land ,\lor ,-,0,1\rangle$ — булева алгебра,
• $\Box$ — унарная операция над $A$, удовлетворяющая $\Box 1=1$ и $\Box (x\land y)=\Box x\land \Box y$ для всех $x,y\in A$.

Модальные алгебры являются моделями логики высказываний модальной логики, подобно тому, как булевы алгебры являются моделями классической логики. В частности, многообразие всех модальных алгебр обеспечивает алгебраическую семантику модальной логики $\mathrm {K}$, а решётка его подмногообразий дуально изоморфна решётке нормальных модальных логик.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр может быть обобщена до двойственности Йоунсcона — Тарского, согласно которой каждая модальная алгебра может быть представлена как алгебра допустимых множеств в модальном общем фрейме.

Алгебра Магари (диагонализируемая алгебра) — модальная алгебра, удовлетворяющая условию $\Box (-\Box x\lor x)=\Box x$; алгебры Магари соответствуют логике доказуемости.

Литература

• Chagrov, A. Modal Logic / A. Chagrov, M. Zakharyaschev. — Oxford University Press, 1997. — Vol. 35. — ISBN 0-19-853779-4.