Множество раздела

Множество раздела точки $p$ в римановом многообразии $M$ — подмножество точек $\operatorname {C} _{p}\subset M$ , через которые не проходит ни одна кратчайшая из $p$ .

Множество раздела также называется катлокус, от англ. cut locus.

Примеры[править | править код]

Множество раздела точки $p$ стандартной сферы состоит из точки, противоположной $p$ .
Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства[править | править код]

Множество раздела — замкнутое множество.
Множество раздела имеет нулевой объём.
Подмножество $M\backslash \operatorname {C} _{p}$ диффеоморфно шару.
Если между точками $p$ и $q$ существуют две различные кратчайшие, то $p\in \operatorname {C} _{q}$ и $q\in \operatorname {C} _{p}$ .
Если $p\in \operatorname {C} _{q}$ и кратчайшая $\gamma$ между точками $p$ и $q$ единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении $\gamma$ .
Если $M$ $M$ — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела $\operatorname {C} _{p}$ $\operatorname {C} _{p}$ допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
- Без аналитичности $M$ множество $\operatorname {C} _{p}$ может быть даже нетриангулируемым.
Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.