Многочлены Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула	${\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}$
Скалярное произведение	$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x)\,dx}$
Область определения	$[-1,\;1]$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\alpha +\beta +1)y=0\end{aligned}}$
Названы в честь	Карл Якоби

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),$

где $(\alpha +1)_{n}$ является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},$

Откуда одно из конечных значений следующее

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

Для целых $n$

${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$

где $\Gamma (z)$ — обычная гамма-функция, и

${z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.$

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

$\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},$

для $\alpha >-1$ и $\beta >-1$.

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);$

а потому ещё одно значение полиномов:

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Для действительного $x$ полином Якоби может быть записан следующим образом.

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},$

где $s\geqslant 0$ и $n-s\geqslant 0$.

В особом случае, когда $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$ и $n+\alpha +\beta$ — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$

Сумма берется по всем целым значениям $s$, для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера $d_{m'm}^{j}(\varphi )$ ($0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi$) в терминах полиномов Якоби

$d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )$,

где $\mu =|m-m'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2}}(\mu +\nu )$

Величина $\xi _{m'm}$ определяется формулой

$\xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\text{if }}m<m'\end{cases}}$

Производные

$k$-я производная явного выражения приводит к

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).$

Литература

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78988-2, MR: 1688958.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255.