Метрика Сасаки

Метрика Сасаки — естественная риманова метрика на касательном расслоении риманова многообразия. Предложена с Сигео Сасаки в 1958 году.

Построение

Пусть $(M,g)$ есть риманово многообразие, обозначим через $\tau \colon \mathrm {T} M\to M$  касательное расслоение над $M$. Метрика Сасаки ${\hat {g}}$ на $\mathrm {T} M$ однозначно определяется следующими свойствами:

• Отображение $\tau \colon \mathrm {T} M\to M$ есть риманова субмерсия.
• Сужение ${\hat {g}}$ на каждое касательное пространство $\mathrm {T} _{p}\subset \mathrm {T} M$ равно $g$.
• Предположим $\gamma (t)$ есть кривая в $M$ и $v(t)\in \mathrm {T} _{\gamma (t)}$ параллельное векторное поле вдоль $\gamma$. Заметим, что $v(t)$ образует кривую в $\mathrm {T} M$. Для ${\hat {g}}$ выполняется $v'(t)\perp \mathrm {T} _{\gamma (t)}$ при любом $t$.

Литература

• S. Sasaki. On the differential geometry of tangent bundle of Riemannian manifolds (англ.) // Tôhoku Math. J.. — 1958. — Vol. 10. — P. 338–354.