Метод функции Грина

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа.

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Одномерное уравнение n-го порядка

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

$L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}$

задано уравнение:

$Lx(t)=\phi (t)\qquad$,

то функция Грина $G$ оператора $L$ определяется решением:

$LG(t,t')=\delta (t-t')$

где $\delta$ — дельта-функция Дирака. Так как $a_{i}$ не зависят от времени, вид уравнения при замене $t\rightarrow t-t'$ не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: $G(t,t')\equiv G(t-t')$.

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

$\int LG(t-t')\phi (t')\,dt'=\int \delta (t-t')\phi (t')\,dt'=\phi (t)$.

Тогда, при рассмотрении $t\in (-\infty ,\infty )$ в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(t-t')\phi (t')$

Функция Грина таким образом определяет для момента времени $t$ влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени $t'$.

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть $G(t,t')=0$ при $t<t'$.

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда $\theta (t)$ и функция Грина ищется в виде:

$G(t)=\theta (t)f(t)$,

где $f(t)$ является решением заданного однородного уравнения и зависит от $n-1$ постоянных.

В случае, когда $L$ не вырожден, $f(t)$ будет иметь вид:

$f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)$.

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

$\int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\,\theta (t)f(t)$

Это приводит к:

$\int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f^{(k)}(0)=1$.

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

${\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}}}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{(k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2$.

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени $t=0$, когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

$Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)}(t)$.

Тогда:

$x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+\int _{0}^{t}dt'\,G(t-t')\phi (t)$,

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядка

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины ${\boldsymbol {y}}$, где ${\hat {\Gamma }}$ — матрица, определяющая динамику системы:

${\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)$.

К такому виду сводится рассмотренное уравнение $n$-го порядка для скалярной величины $x$. Для этого следует положить, что:

${\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)$

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

${\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(t-t'){\boldsymbol {\chi }}(t')$.

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

$\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)$,

ищется, в свою очередь, в виде:

${\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)$.

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора ${\hat {\Gamma }}$, где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для $LG(t)=\delta (t)$ для полиномиального оператора $L$ запишется

${\mathcal {L}}\left\{LG(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}\;\Leftrightarrow \;L(s){\widetilde {G}}(s)=1\;\Rightarrow \;{\widetilde {G}}(s)={\frac {1}{L(s)}}$

Где ${\widetilde {G}}(s)={\mathcal {L}}\{G(t)\}$, а $L(s)$ — соответствующий оператору $L$ многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Доказательство

Достаточно рассмотреть выражение при n-й производной функции G

$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)$

Где $\varepsilon$ — малый параметр, существенный для дельта-функции в правой части рассматриваемого уравнения

После взятия по частям, с учётом того, что внеинтегральные члены на границах равны нулю (на нижней в силу причинности), интеграл запишется

$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=0+p\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}G(t)$

Повторение процедуры n раз приводит к

$\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=p^{n}\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}G(t)=p^{n}{\mathcal {L}}\left\{G(t)\right\}$

■

Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

${\tilde {x}}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int dt\,G(t-t')\phi (t)\right\}={\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Где ${\tilde {x}}(s),\,{\tilde {\phi }}(s)$ — преобразования Лапласа для $x(t),\,\phi (t)$ соответственно.

После обратного преобразования:

$x(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }ds\,e^{st}{\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.

Неоднородное по времени уравнение

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

$LG(t,t')=\delta (t-t')$

и решение для:

$G(t-t')=\theta (t-t')\exp(-\gamma t)$

перепишется:

$G(t,t')=\theta (t-t')\exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,\gamma (\tau )\right]$.

При постоянном $\gamma$ уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения:

${\dot {\boldsymbol {y}}}+{\hat {\Gamma }}(t){\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {\chi }}(t)$

матрицы ${\hat {\Gamma }}$ в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты:

$G(t,t')=\theta (t-t')\,\mathrm {T} \exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,{\hat {\Gamma }}(\tau )\right]$.

Литература

• Колоколов И.В., Лебедев В. В. Избранные главы математической физики. с. 6-11, 13
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.