Метод гиперболы Дирихле

Метод гиперболы Дирихле — используемая в теории чисел техника вычисления суммы вида:

$\sum _{n\leqslant x}f(n)$,

где $f$ — мультипликативная функция.

Названа в связи с использованием свёртки Дирихле — применяется для функции $f$, представленной как свёртка $f=g*h$ пары мультипликативных арифметических функций $g$ и $h$:

$\sum _{n\leqslant x}f(n)=\sum _{n\leqslant x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{b\leqslant {\frac {x}{a}}}g(a)h(b)+\sum _{b\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{a\leqslant {\frac {x}{b}}}g(a)h(b)-\sum _{a\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{b\leqslant {\sqrt {x}}}g(a)h(b)$.

Например, для функции числа делителей $\tau =1*1$:

$\sum _{n\leqslant x}\tau (n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})$,

где $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони.