Матрица масс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В аналитической механике матрица масс представляет собой симметричную матрицу M, которая выражает связь между производной по времени вектора обобщённых координат q системы и кинетической энергией T этой системы по уравнению

где обозначает транспонирование вектора [1]. Это уравнение аналогично формуле для кинетической энергии частицы с массой и скоростью v, а именно

и может быть получено из неё, выражая положение каждой частицы системы через q.

В общем случае матрица масс М зависит от состояния q и поэтому изменяется со временем.

Лагранжева механика даёт обыкновенное дифференциальное уравнение (фактически, система связанных дифференциальных уравнений), которое описывает эволюцию системы в терминах произвольного вектора обобщённых координат, который полностью определяет положение каждой частицы в системе. Приведённая выше формула кинетической энергии является одним из членов этого уравнения, которое представляет общую кинетическую энергию всех частиц.

Система масс в одном пространственном измерении.

Например, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных масс, ограниченных прямой линией. Состояние этих систем может быть описано вектором q двух обобщённых координат, а именно положениями двух частиц вдоль линии.

,

Предположим, что частицы имеют массы m1, m2, кинетическая энергия системы

Эта формула также может быть записана как

где

Система N тел

[править | править код]

В более общем случае рассмотрим систему из N частиц, помеченных индексами i = 1, 2,…, N, где положение частицы с номером i определяется ni свободными декартовыми координатами (где ni равно 1, 2 или 3). Пусть q будет вектором столбца, содержащим все эти координаты. Матрица масс M представляет собой диагональную блочную матрицу, где в каждом блоке диагональные элементы представляют собой массу соответствующей частицы:[2]

где In i — это единичная матрица ni × ni, или более полно:

Вращающаяся гантель

[править | править код]
Вращающаяся гантель.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим два точечных объекта с массами m1, m2, прикреплённых к концам жесткого безмассового стержня длиной 2R, причём узел может свободно вращаться и скользить по фиксированной плоскости. Состояние системы можно описать обобщённым координатным вектором

где х, у — декартовы координаты средней точки стержня и α представляет собой угол стержня от некоторого произвольного опорного направления. Положения и скорости двух частиц

и их общая кинетическая энергия

где и . Эта формула может быть записана в виде матрицы

где

Обратите внимание, что матрица зависит от текущего угла α стержня.

Механика сплошных сред

[править | править код]

Для дискретных приближений механики сплошных сред, как в методе конечных элементов, может быть несколько способов построения матрицы масс, в зависимости от требуемой производительности вычислений и точности. Например, метод с сосредоточенными массами, в котором деформация каждого элемента игнорируется, создаёт диагональную матрицу масс и устраняет необходимость интегрировать массу по деформированному элементу.

  1. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0