Матрица Коши (дифференциальные уравнения)

В математике матрицей Коши (также импульсная функция, матрицант) системы дифференциальных уравнений

$x'(t)=A(t)x(t)$, $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $t\in (t_{1},t_{2})$,

называется матрица

$C(t,s)=X(t)X(s)^{-1}$, $(t;s)\in (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})$

где $X(t)$ — матрицант данной системы (нормировка: $X(t_{0})=I$, $t_{0}\in (t_{1},t_{2})$).

(Иногда не $X(t)$, а саму матрицу Коши называют матрицантом.)

Решение систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений

Матрица Коши используется для представления с её помощью решений систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений. Любое решение неоднородной системы:

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),$

где $B(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ — локально суммируемая функция на $(t_{1},t_{2}),$ может быть представлено через матрицу Коши однородной системы:

$x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),$

в виде:

$x(t)=X(t)x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}C(t,s)B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).$

Свойства

• $C(t,s)$ непрерывна в $(t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})$
• Для любых t, s и r принадлежащих интервалу $(t_{1},t_{2})$ верны следующие утверждения:
  1. $C(t,s)=C(t,t_{0})C(s,t_{0})^{-1}$
  2. $C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$
  3. $C(s,t)=C(t,s)^{-1}$
  4. $C(t,t)=I$
  5. Если $C_{*}(t,s)$ — матрица сопряжённой системы

     $x'(t)=-A^{*}(t)x(t)$, $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$,

     то

     $C_{*}(t,s)=(C(t,s)^{*})^{-1}$

  6. $|C(t,s)|\leqslant e^{\int _{s}^{t}|A(r)|dr},\quad s\leqslant t,$

     где $|\cdot |$ — норма матрицы.

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

В случае $A(t)=A=\mathrm {const}$ матрицант равен

$X(t)=e^{A(t-t_{0})}$,

где $e^{As}$ — матричная экспонента, следовательно, матрица Коши:

$C(t,s)=e^{A(t-s)}$,

$C(t,s)=X(t-s)$,

таким образом, в этом случае для получения матрицы Коши достаточно подставить (t - s) в качестве аргумента матрицанта.

Общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-s)}B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).$

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.