Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Ле́мма Га́усса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Формулировка[править | править код]

Пусть $R$ — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

Пусть $a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],$ $a$ неприводимо (а значит и просто) в $R$ и делит все коэффициенты произведения $f(x)g(x).$ Тогда $a$ также делит все коэффициенты или многочлена $f(x),$ или многочлена $g(x).$ В частности, если $f(x),g(x)$ — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен $f(x)g(x)$ примитивен;
Если $Q$ — поле частных кольца $R,$ и если многочлен неприводим в кольце $R[x],$ то он неприводим и в кольце $Q[x].$ Более того, если многочлен примитивен в $R[x],$ то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Доказательства для факториальных колец[править | править код]

Доказательство 1[править | править код]

Докажем, что если простой элемент $p$ кольца $R$ является общим делителем коэффициентов $f(x)g(x)$ , то он делит либо все коэффициенты $f(x),$ либо все коэффициенты $g(x)$ .

Пусть $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ , $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$ , $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ — степени этих многочленов.

Допустим, что $p$ не делит в совокупности ни коэффициенты $f(x),$ ни $g(x).$ Тогда существуют наименьшие $i,j$ для которых $p\nmid a_{i}$ и $p\nmid b_{j}.$

Коэффициент при элементе степени $i+j$ многочлена $f(x)g(x)$ имеет вид:

\sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.

В соответствии с выбором $i,j$ элемент $p$ делит все слагаемые в этой сумме, за исключением $a_{i}b_{j},$ который он не делит в силу своей простоты и факториальности $R.$ Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если $f(x),g(x)$ примитивны, то их произведение $f(x)g(x)$ — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ — факторизация в кольце $Q[x].$ Домножив каждый из $f_{1}(x),f_{2}(x)$ на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что $af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]$ и $bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]$ и $abf(x)=h_{1}(x)h_{2}(x).$

Каждый из простых делителей $ab$ делит все коэффициенты $h_{1}(x)h_{2}(x),$ а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце $R[x].$

Доказательство 2[править | править код]

Обозначим $\operatorname {cont} (h):=\operatorname {gcd} (a_{0},...,a_{n})$ , где ${a_{0},...,a_{n}}$ — коэффициенты многочлена $h$ . Тогда первое утверждение леммы Гаусса (его примитивная часть, которая легко распространяется на общий случай) легко приобретает следующий вид: если $\operatorname {cont} (f)\sim 1$ и $\operatorname {cont} (g)\sim 1$ , тогда $\operatorname {cont} (f\cdot g)\sim 1$ .

Пусть $p$ — простой, который делит $\operatorname {cont} (f\cdot g)$ , ради противоречия. Раз у $f\cdot g$ все коэффициенты кратны $p$ , то $[f\cdot g]=[0]$ в $R/(p)[x]$ .

Так как $p$ — простой, то $R/(p)$ — область целостности и, следовательно, $R/(p)[x]$ — область целостности. Но тогда $[f\cdot g]=[0]$ может быть верно только тогда, когда либо $[f]=[0]$ , либо $[g]=[0]$ , то есть когда чей-то $\operatorname {cont}$ кратен $p$ , что противоречит тому, что все $\operatorname {cont}$ ассоциированы с 1.